Из внешней точки к окружности проведены секущая длиной 12 см и касательная, длина которой составляет...

Давайте разберем задачу с использованием свойств секущей и касательной, проведенных из внешней точки к окружности.

Обозначим:

• ( P ) — внешняя точка,
• ( A ) и ( B ) — точки пересечения секущей с окружностью, где ( A ) ближе к ( P ), а ( B ) дальше (то есть ( PA ) — внутренний отрезок секущей).

По условию задачи, длина секущей ( PB = 12 ) см, и длина касательной ( PT ) составляет ( \frac{2}{3} ) внутреннего отрезка секущей ( PA ).

1. Выразим длину касательной через внутренний отрезок секущей: [ PT = \frac{2}{3} \times PA ]

2. Применим теорему о секущей и касательной: квадрат длины касательной равен произведению всей секущей на её внешний отрезок: [ PT^2 = PA \cdot PB ]

3. Так как ( PB = 12 ) см, то уравнение принимает вид: [ \left(\frac{2}{3} \cdot PA\right)^2 = PA \cdot 12 ]

4. Упростим уравнение: [ \frac{4}{9} \cdot PA^2 = 12 \cdot PA ]

5. Умножим обе стороны на 9, чтобы избавиться от дроби: [ 4 \cdot PA^2 = 108 \cdot PA ]

6. Разделим обе стороны на ( PA ) (предполагая, что ( PA \neq 0 )): [ 4 \cdot PA = 108 ]

7. Разделим обе стороны на 4: [ PA = 27 ]

8. Теперь найдем длину касательной ( PT ): [ PT = \frac{2}{3} \times 27 = 18 ]

Таким образом, длина касательной ( PT ) равна 18 см.

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства касательных к окружности.

Известно, что касательная, проведенная к окружности извне, перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Также известно, что точка касания делит касательную и радиус на два равные отрезки.

Обозначим длину внутреннего отрезка секущей как a. Тогда длина внешнего отрезка секущей равна 12 - a.

По условию задачи, длина касательной составляет 2/3 от длины внутреннего отрезка секущей, то есть длина касательной равна 2/3a.

Так как точка касания делит радиус и касательную на два равные отрезки, то длина радиуса равна длине внешнего отрезка секущей, то есть радиус равен 12 - a.

Получаем прямоугольный треугольник, в котором радиус равен катету, а длина касательной равна гипотенузе. Применяя теорему Пифагора, получаем:

(12 - a)^2 + (2/3a)^2 = (12 + a)^2

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

144 - 24a + a^2 + 4/9a^2 = 144 + 24a + a^2

Далее упрощаем уравнение:

12a^2 - 24a + 16 = 0

Делим уравнение на 4:

3a^2 - 6a + 4 = 0

Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 434 = 36 - 48 = -12

Дискриминант отрицателен, значит у уравнения нет действительных корней.

Следовательно, длина касательной не может быть определена в данной задаче.

Длина касательной равна 8 см.