Какие из элементов должны быть равны у △MNP и △M1N1P1, чтобы они были равны по двум сторонам и углу?...

Для того чтобы треугольники △MNP и △M1N1P1 были равны по двум сторонам и углу, необходимо, чтобы соответствующие им стороны и углы были равны: сторона MN должна быть равна M1N1, сторона NP должна быть равна N1P1, и угол M должен быть равен M1.

Чтобы треугольники △MNP и △M1N1P1 были равны по двум сторонам и углу, необходимо, чтобы:

1. Стороны, соответствующие углу, были равны между собой. То есть, MN = M1N1, NP = N1P1 и MP = M1P1.
2. Угол между этими сторонами должен быть равен. То есть, ∠M = ∠M1.

Доказательство того, что треугольники СКА и АКВ равнобедренные:

1. В равнобедренном треугольнике АВС биссектриса АК является высотой и медианой.
2. Так как треугольник АКВ имеет общую сторону АК с равнобедренным треугольником АКС, то треугольники СКА и АКВ равны по двум сторонам и углу (СК = АК, ∠С = ∠АК, ∠К = ∠К).
3. Следовательно, треугольники СКА и АКВ равнобедренные.

Чтобы два треугольника (\triangle MNP) и (\triangle M_1N_1P_1) были равны по критерию "две стороны и угол между ними", необходимо, чтобы:

1. Две стороны одного треугольника были равны двум сторонам другого треугольника.
2. Углы между этими равными сторонами были также равны.

То есть, если (MN = M_1N_1), (NP = N_1P_1), и угол (\angle MNP = \angle M_1N_1P_1), тогда (\triangle MNP \cong \triangle M_1N_1P_1).

Теперь рассмотрим задачу про равнобедренный треугольник ( \triangle ABC ) с основанием ( AC ) и углом при вершине ( B ), равным ( 36^\circ ). Проведена биссектриса ( AK ). Нужно доказать, что треугольники ( \triangle CKA ) и ( \triangle AKB ) равнобедренные.

1. Треугольник ( \triangle CKA ):

   • Так как ( AK ) — биссектриса, угол ( \angle CAK = \angle KAC = \frac{180^\circ - 36^\circ}{2} = 72^\circ ).
   • В треугольнике ( \triangle CKA ), сумма углов должна быть ( 180^\circ ). Таким образом, угол ( \angle CKA = 180^\circ - 72^\circ - 72^\circ = 36^\circ ).
   • Следовательно, ( \triangle CKA ) равнобедренный, так как ( \angle CAK = \angle KAC ).

2. Треугольник ( \triangle AKB ):

   • Угол при вершине ( B ) в ( \triangle ABC ) равен ( 36^\circ ), и он делится биссектрисой ( AK ) на два равных угла, то есть каждый из них равен ( 18^\circ ).
   • Таким образом, в ( \triangle AKB ), угол ( \angle BAK = 18^\circ ).
   • Углы ( \angle BAK ) и ( \angle ABK ) равны, так как ( \angle ABK = 18^\circ ) (так как ( \angle B = 36^\circ ) и делится пополам биссектрисой ( AK )).

Итак, треугольник ( \triangle AKB ) равнобедренный, так как ( \angle BAK = \angle ABK ).

Таким образом, оба треугольника ( \triangle CKA ) и ( \triangle AKB ) являются равнобедренными.