Касательные CA и CB к окружности образуют угол АСВ, равный 90 градусов. Найдите величину меньшей дуги АВ, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.
Касательные CA и CB к окружности образуют угол АСВ, равный 90 градусов. Найдите величину меньшей дуги АВ, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.
Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойством касательных к окружности. Угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, равен 90 градусов. Это значит, что треугольник ABC является прямоугольным.
Так как угол АСВ равен 90 градусов, то треугольник ASV также является прямоугольным. Это означает, что угол ASB равен 90 градусов.
Теперь мы знаем, что угол ASB равен 90 градусов, следовательно, дуга AB, стягиваемая точками касания, равна 180 градусов (полный круг).
Итак, величина меньшей дуги АВ, стягиваемой точками касания, равна 180 градусов.
Рассмотрим окружность с центром O, к которой проведены касательные CA и CB из внешней точки C. Прежде всего, напомним, что касательные к окружности, проведенные из одной точки, равны между собой и образуют с радиусами, проведенными в точках касания, прямые углы.
Пусть точки A и B — это точки касания окружности с касательными CA и CB соответственно. Поскольку углы между касательными и радиусами, проведенными в точках касания, равны 90 градусам, мы имеем:
∠OAC = 90° и ∠OBC = 90°.
Так как CA и CB касаются окружности, отрезки OA и OB являются радиусами окружности. Треугольник OAC и треугольник OBC являются прямоугольными треугольниками.
Теперь рассмотрим четырехугольник OCAB. В нем:
Следовательно, сумма углов четырехугольника OCAB равна 360 градусам. Учитывая, что три из этих углов равны 90 градусам, четвертый угол ∠AOB будет равен:
∠AOB = 360° - 90° - 90° - 90° = 90°.
Теперь определим величину дуги AB, стягиваемой точками A и B. Поскольку угол ∠AOB, центральный угол, равен 90 градусам, дуга AB также будет равна 90 градусам. В окружности центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
Таким образом, величина меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания A и B, равна 90 градусам.
Поскольку угол между касательными и радиусом, проведенным к точке касания, равен 90 градусов, то треугольник AOB является прямоугольным. Значит, дуга AB равна 90 градусов.
