Катет BC прямоугольного треугольника ABC лежит в проскости α. вершина A удалена от неё на 2√2 дм. BC=AC=4...

Угол между плоскостью α и прямой AC равен 45 градусам, так как AC является катетом прямоугольного треугольника с длиной 4 дм. Угол между плоскостью α и прямой AB также равен 45 градусам, так как AB также является катетом прямоугольного треугольника.

Для решения задачи необходимо определить, как расположены катеты и гипотенуза треугольника относительно плоскости α и как это влияет на углы между прямыми и плоскостью.

Дано:

1. Катет ( BC ) прямоугольного треугольника ( ABC ) лежит в плоскости ( \alpha ).
2. Вершина ( A ) удалена от плоскости ( \alpha ) на ( 2\sqrt{2} ) дм.
3. ( BC = AC = 4 ) дм.

Найдем угол между плоскостью α и прямыми:

1) Угол между плоскостью α и прямой AC

Поскольку ( A ) удалена от плоскости ( \alpha ) на ( 2\sqrt{2} ) дм, это означает, что перпендикуляр, опущенный из точки ( A ) на плоскость ( \alpha ), равен ( 2\sqrt{2} ) дм.

Пусть ( H ) — проекция точки ( A ) на плоскость ( \alpha ). Рассмотрим треугольник ( AHC ), где:

• ( AH = 2\sqrt{2} ) дм (расстояние от ( A ) до плоскости),
• ( AC = 4 ) дм.

Согласно теореме Пифагора для треугольника ( AHC ): [ AC^2 = AH^2 + HC^2 ]

Подставим известные значения: [ 4^2 = (2\sqrt{2})^2 + HC^2 ] [ 16 = 8 + HC^2 ] [ HC^2 = 8 ] [ HC = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ]

Теперь найдём угол ( \theta ) между прямой ( AC ) и плоскостью ( \alpha ) с использованием косинуса угла: [ \cos \theta = \frac{HC}{AC} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Поскольку ( \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} ), то угол ( \theta = 45^\circ ).

2) Угол между плоскостью α и прямой AB

Рассмотрим треугольник ( ABH ), где:

• ( AH = 2\sqrt{2} ) дм,
• ( AB ) — гипотенуза, которую мы должны найти.

Сначала найдём ( AB ) с использованием теоремы Пифагора для треугольника ( ABC ): [ AB^2 = AC^2 + BC^2 ] [ AB^2 = 4^2 + 4^2 ] [ AB^2 = 16 + 16 = 32 ] [ AB = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} ]

Теперь используем теорему Пифагора для треугольника ( ABH ) для нахождения ( BH ): [ AB^2 = AH^2 + BH^2 ] [ (4\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{2})^2 + BH^2 ] [ 32 = 8 + BH^2 ] [ BH^2 = 24 ] [ BH = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} ]

Теперь найдём угол ( \phi ) между прямой ( AB ) и плоскостью ( \alpha ): [ \cos \phi = \frac{BH}{AB} = \frac{2\sqrt{6}}{4\sqrt{2}} ]

Сократим: [ \cos \phi = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} ]

Поскольку ( \cos \phi = \frac{\sqrt{3}}{2} ), то угол ( \phi = 30^\circ ).

Ответ:

1. Угол между плоскостью ( \alpha ) и прямой ( AC ) равен ( 45^\circ ).
2. Угол между плоскостью ( \alpha ) и прямой ( AB ) равен ( 30^\circ ).

Для начала найдем катет AB и угол между плоскостью α и прямой AC. Так как треугольник ABC прямоугольный, то по теореме Пифагора: AB^2 = AC^2 - BC^2 AB^2 = 4^2 - 4^2 AB^2 = 16 - 16 AB^2 = 0 AB = 0

Таким образом, катет AB равен 0, что означает, что прямая AB лежит в плоскости α и угол между плоскостью α и прямой AC равен 90 градусов.

Далее найдем угол между плоскостью α и прямой AB. Так как катет AB равен 0, то прямая AB совпадает с плоскостью α, а значит угол между ними также равен 0 градусов.

Итак, угол между плоскостью α и прямой AC равен 90 градусов, а угол между плоскостью α и прямой AB равен 0 градусов.