Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 40+20√2. Найдите радиус окружности, вписанной...

Для начала найдем гипотенузу прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: a^2 + b^2 = c^2 (40 + 20√2)^2 + (40 + 20√2)^2 = c^2 1600 + 1600 + 1600√2 + 800√2 + 800√2 + 800√2 + 8000 = c^2 4800 + 4800√2 + 8000 = c^2 9600√2 + 12800 = c^2 c ≈ 177.38

Теперь найдем полупериметр треугольника: p = (a + b + c) / 2 p = (40 + 20√2 + 40 + 20√2 + 177.38) / 2 p = (80 + 40√2 + 177.38) / 2 p ≈ 148.69

Площадь треугольника: S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)) S = √(148.69(148.69 - 40 - 20√2)(148.69 - 40 - 20√2)(148.69 - 177.38)) S = √(148.69 108.69 108.69 * 29.31) S ≈ 1200

Теперь найдем радиус вписанной окружности по формуле: r = S / p r ≈ 1200 / 148.69 r ≈ 8.06

Итак, радиус вписанной окружности равен примерно 8.06.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, и, согласно условию задачи, каждый из них равен (40 + 20\sqrt{2}).

Вписанная окружность касается всех трех сторон треугольника. Радиус такой окружности может быть найден с использованием формулы для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

[ r = \frac{a + b - c}{2} ]

где (a) и (b) — катеты, а (c) — гипотенуза треугольника.

1. Найдем гипотенузу (c):

   Поскольку треугольник прямоугольный, мы можем применять теорему Пифагора:

   [ c = \sqrt{a^2 + b^2} ]

   Подставим значения катетов:

   [ c = \sqrt{(40 + 20\sqrt{2})^2 + (40 + 20\sqrt{2})^2} ]

   Сначала найдем квадрат каждого из катетов:

   [ (40 + 20\sqrt{2})^2 = 40^2 + 2 \cdot 40 \cdot 20\sqrt{2} + (20\sqrt{2})^2 ]

   [ = 1600 + 1600\sqrt{2} + 800 = 2400 + 1600\sqrt{2} ]

   Таким образом, для гипотенузы получаем:

   [ c = \sqrt{2 \cdot (2400 + 1600\sqrt{2})} = \sqrt{4800 + 3200\sqrt{2}} ]

2. Найдем радиус (r):

   Используем формулу радиуса вписанной окружности:

   [ r = \frac{a + b - c}{2} ]

   Подставим значения:

   [ r = \frac{(40 + 20\sqrt{2}) + (40 + 20\sqrt{2}) - \sqrt{4800 + 3200\sqrt{2}}}{2} ]

   [ = \frac{80 + 40\sqrt{2} - \sqrt{4800 + 3200\sqrt{2}}}{2} ]

   Теперь необходимо упростить выражение для гипотенузы, чтобы получить числовое значение радиуса (r). Однако, для точного вычисления потребуется дополнительное упрощение или численное приближение, так как выражение под корнем может быть сложным для аналитического упрощения без дополнительных упрощений или использования чисел.

3. Упрощение:

   Гипотенуза (c) в данном случае не упрощается до простого выражения, поэтому точное значение радиуса (r) в численном виде можно посчитать с использованием калькулятора для нахождения корня и последующего вычисления:

   [ r = \frac{80 + 40\sqrt{2} - \text{численное значение } \sqrt{4800 + 3200\sqrt{2}}}{2} ]

   После точного вычисления получится численное значение радиуса окружности, вписанной в данный треугольник.