)Хорда основания конуса равна его образующей и равна L. найдите площадь полной поверхности конуса,если...

Дано: хорда основания конуса равна его образующей и равна L, дуга стягивается на 90 градусов.

Пусть r - радиус основания конуса, h - высота конуса, l - образующая конуса.

Так как хорда основания равна образующей, то длина образующей l = L.

Также известно, что хорда стягивает дугу в 90 градусов, что означает, что угол между образующей и дугой равен 90 градусов. Таким образом, получается, что треугольник с вершиной в вершине конуса, образующей и половиной дуги является прямоугольным.

Из геометрии прямоугольного треугольника известно, что радиус основания r равен половине хорды, то есть r = L/2.

Теперь можем найти высоту конуса h с помощью теоремы Пифагора: h^2 = l^2 - r^2 h^2 = L^2 - (L/2)^2 h^2 = L^2 - L^2/4 h^2 = 3L^2/4 h = sqrt(3)L/2

Теперь можем найти площадь полной поверхности конуса. Полная поверхность конуса состоит из площади основания, площади боковой поверхности и площади основания. Площадь основания конуса равна pir^2, площадь боковой поверхности равна pirl, площадь основания равна pir^2.

S = pir^2 + pirl S = pi(L/2)^2 + pi(L/2)L S = pi(L^2/4) + pi(L^2/2) S = piL^2/4 + piL^2/2 S = 3pi*L^2/4

Итак, площадь полной поверхности конуса равна 3pi*L^2/4.

Для решения задачи найдем сначала все необходимые параметры конуса.

1. Хорда и радиус основания: Хорда основания конуса равна образующей конуса и равна ( L ). Поскольку хорда стягивает дугу в 90 градусов, мы можем рассматривать эту хорду как сторону равнобедренного прямоугольного треугольника, где два катета равны радиусу ( R ) основания.

   Из свойств прямоугольного треугольника с углом в 90 градусов и равными катетами: [ R \sqrt{2} = L ] Отсюда находим радиус основания: [ R = \frac{L}{\sqrt{2}} ]

2. Высота и образующая конуса: Поскольку образующая ( l ) равна ( L ) (по условию задачи) и образует гипотенузу в прямоугольном треугольнике с высотой ( h ) и радиусом ( R ) основания, из теоремы Пифагора имеем: [ h^2 + R^2 = L^2 ] Подставим найденное значение ( R ): [ h^2 + \left(\frac{L}{\sqrt{2}}\right)^2 = L^2 ] [ h^2 + \frac{L^2}{2} = L^2 ] [ h^2 = L^2 - \frac{L^2}{2} = \frac{L^2}{2} ] [ h = \frac{L}{\sqrt{2}} ]

3. Площадь полной поверхности конуса: Площадь полной поверхности конуса ( S ) состоит из площади основания и боковой поверхности: [ S = S{\text{осн}} + S{\text{бок}} ]

   • Площадь основания ( S{\text{осн}} ): [ S{\text{осн}} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{L}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{\pi L^2}{2} ]

   • Площадь боковой поверхности ( S{\text{бок}} ): Формула для площади боковой поверхности: [ S{\text{бок}} = \pi R l ] Подставим известные значения: [ S_{\text{бок}} = \pi \cdot \frac{L}{\sqrt{2}} \cdot L = \frac{\pi L^2}{\sqrt{2}} ]

   Полная площадь поверхности: [ S = \frac{\pi L^2}{2} + \frac{\pi L^2}{\sqrt{2}} ] Приведем к общему знаменателю: [ S = \frac{\pi L^2 \sqrt{2}}{2\sqrt{2}} + \frac{\pi L^2 \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\pi L^2 \sqrt{2}}{2} + \frac{\pi L^2 \sqrt{2}}{2} ] [ S = \frac{\pi L^2 \sqrt{2} + \pi L^2 \sqrt{2}}{2} = \pi L^2 \sqrt{2} ]

Таким образом, площадь полной поверхности конуса равна ( \pi L^2 \sqrt{2} ).