Хорды AB и CD пересекаются в точке M, найти длину хорды AB если CM 4 см, DM-9см, AM/MB=4
Хорды AB и CD пересекаются в точке M, найти длину хорды AB если CM 4 см, DM-9см, AM/MB=4
Для решения задачи находим длину хорды AB, используя теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд.
В теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд говорится, что если две хорды пересекаются внутри круга, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.
Обозначим точки пересечения хорды AB и CD через M. Пусть (AM = x) и (MB = y). Также известно, что (CM = 4 \text{ см}) и (DM = 9 \text{ см}).
Поскольку (AM/MB = 4), можно записать это отношение как: [ \frac{AM}{MB} = 4 \implies \frac{x}{y} = 4 ]
Пусть (MB = y), тогда (AM = 4y).
Согласно теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд: [ AM \cdot MB = CM \cdot MD ]
Подставим известные значения: [ 4y \cdot y = 4 \cdot 9 ]
Рассчитаем произведение: [ 4y^2 = 36 ]
Разделим обе стороны уравнения на 4: [ y^2 = 9 ]
Возьмем квадратный корень из обеих частей: [ y = \sqrt{9} ] [ y = 3 \text{ см} ]
Теперь, зная (y = 3 \text{ см}), можем найти (AM): [ AM = 4y = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см} ]
Длина хорды AB равна сумме отрезков (AM) и (MB): [ AB = AM + MB ] [ AB = 12 \text{ см} + 3 \text{ см} ] [ AB = 15 \text{ см} ]
Длина хорды AB составляет 15 см.
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о пересекающихся хордах. Согласно этой теореме, произведение длин отрезков хорд, образованных пересекающими хордами внутри круга, равно. То есть AMMB = CMDM.
Имеем AM/MB = 4, значит AM = 4x и MB = x, где x - некоторая константа.
Также известно, что CM = 4 см и DM = 9 см.
Подставим известные значения в формулу AMMB = CMDM:
4x x = 4 9 4x^2 = 36 x^2 = 9 x = 3
Теперь найдем длину хорды AB. Из условия задачи AM/MB = 4 следует, что AM = 4 MB. Таким образом, AM = 4 3 = 12 см, MB = 3 см.
Следовательно, длина хорды AB равна сумме AM и MB: AB = AM + MB = 12 + 3 = 15 см.
Итак, длина хорды AB равна 15 см.
Длина хорды AB равна 16 см.
