Колинеарны ли векторы AB и CD? Если a(1:-3:4), B(5:1:-2), c(2:0:1), D(4:2:-2

Да, векторы AB и CD коллинеарны.

Для того чтобы определить, коллинеарны ли векторы AB и CD, необходимо проверить, являются ли они параллельными или противоположно направленными. Для этого нужно вычислить векторы AB и CD, а затем определить, равны ли они между собой или противоположны.

Вектор AB можно найти, вычитая координаты начальной точки A из координат конечной точки B: AB = B - A = (5 - 1, 1 - (-3), -2 - 4) = (4, 4, -6).

Аналогично, вектор CD можно найти вычитанием координат начальной точки C из координат конечной точки D: CD = D - C = (4 - 2, 2 - 0, -2 - 1) = (2, 2, -3).

Теперь нужно проверить, являются ли векторы AB и CD коллинеарными, то есть пропорциональными. Для этого можно поделить координаты одного вектора на соответствующие координаты другого вектора и проверить, равны ли получившиеся значения: (4 / 2) = (4 / 2) = (-6 / -3).

Поскольку все координаты векторов имеют одинаковые пропорции, то векторы AB и CD являются коллинеарными.

Чтобы определить, колинеарны ли векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{CD} ), необходимо выяснить, можно ли выразить один вектор через другой с помощью умножения на скаляр. Другими словами, векторы колинеарны, если их координаты пропорциональны.

Сначала найдем координаты векторов ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{CD} ).

Координаты вектора ( \overrightarrow{AB} ) находятся вычитанием координат точки A из координат точки B: [ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (5 - 1, 1 + 3, -2 - 4) = (4, 4, -6). ]

Координаты вектора ( \overrightarrow{CD} ) находятся аналогично: [ \overrightarrow{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C, z_D - z_C) = (4 - 2, 2 - 0, -2 - 1) = (2, 2, -3). ]

Теперь проверим, являются ли векторы пропорциональными, то есть существует ли такое число ( k ), что: [ (4, 4, -6) = k \cdot (2, 2, -3). ]

Для этого нужно, чтобы выполнялись следующие равенства:

1. ( 4 = 2k ),
2. ( 4 = 2k ),
3. ( -6 = -3k ).

Решим каждое из этих уравнений:

1. ( 4 = 2k ) даёт ( k = 2 ).
2. ( 4 = 2k ) также даёт ( k = 2 ).
3. ( -6 = -3k ) даёт ( k = 2 ).

Так как во всех трёх случаях значение ( k ) совпадает, это значит, что векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{CD} ) действительно колинеарны, и ( k = 2 ).

Таким образом, векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{CD} ) колинеарны, и один является удвоенным по длине другим вектором.