Концы А и В отрезка АВ расположены по одну сторону от плоскости альфа. Точка С принадлежит АВ и АС:СВ=2:3....

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойством подобных треугольников.

Поскольку отрезок АС делится точкой С в отношении 2:3, то можно сказать, что треугольники АСС1 и А1С1С подобны с коэффициентом 2:3. То есть:

AC1 / A1C = CC1 / C1S

Так как А1А = 4 см и В1В = 14 см, то можно заметить, что отношение длин сторон треугольников АСС1 и А1С1С равно 2:3. Поэтому:

AC1 / 4 = x / 14

x = 14 $AC1/4$ = 3.5 AC1

Таким образом, получаем, что С1С = 3.5 * AC1.

Для решения задачи воспользуемся свойствами проекций и отношений векторов. Задача требует найти длину отрезка ${С}_1С$, зная длины ${А}_1А$ и ${В}_1В$.

Из условия $АС:СВ=2:3$ следует, что отрезок $АВ$ делится точкой $C$ в отношении 2:3. Это означает, что точка $C$ делит отрезок $AB$ в пропорции, где $AC=\frac{2}{5}\times AB$ и $CB=\frac{3}{5}\times AB$.

Поскольку проекция сохраняет линейные отношения между точками на прямой, то отношение $\frac{AC}{CB}$ сохранится также для проекций, то есть $\frac{A_1{C}_1}{C_1{B}_1}=\frac{2}{3}$. Это говорит нам о том, что отрезок $A_1{B}_1$ также делится точкой $C_1$ в отношении 2:3.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $A_{1}AC$ и $B_{1}BC$, в которых ${А}_1А=4$ см, ${В}_1В=14$ см, и гипотенузы $AC$ и $BC$ соответственно. Катеты этих треугольников лежат в плоскости $\alpha$, а гипотенузы выходят за пределы этой плоскости.

Пусть $x$ – длина $C{C}_1$. Так как отношение длин отрезков $AC$ и $BC$ сохраняется для их проекций, и $C_1$ делит $A_1{B}_1$ в том же отношении 2:3, мы можем записать следующие соотношения: $\frac{A_1{C}_1}{C_1{B}_1}=\frac{2}{3}$ $A_1{C}_1=\frac{2}{5}\times A_1{B}_1$ $C_1{B}_1=\frac{3}{5}\times A_1{B}_1$

Поскольку $A$ и $B$ проецируются на $A_1$ и $B_1$ соответственно, то $A_1{B}_1$ является проекцией $AB$ на плоскость $\alpha$. Расстояние между $A_1$ и $B_1$ можно выразить как $\sqrt{A{B}^2-x^2}$.

Для нахождения $x$ нужно знать длину $AB$, но из условия мы имеем только проекции $A_{1}A$ и $B_{1}B$. Поэтому мы можем рассчитать $x$, предполагая, что $A_1{C}_1$ и $C_1{B}_1$ разделены в отношении $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{5}$ всей длины $A_1{B}_1$. Если $A_1{B}_1=A_1{C}_1+C_1{B}_1$, то:

$x=\sqrt{A_1{A}^2+{(\frac{2}{5}\times \sqrt{A_1{A}^2+B_1{B}^2})}^2}=\sqrt{4^2+{(\frac{2}{5}\times \sqrt{4^2+{14}^2})}^2}$

Выполнив расчеты, получим значение $x$.