Концы двух пересекающихся отрезков AC и BD лежат на двух параллельных плоскостях, причем расстояние между точками одной плоскости равны. Докажите, что: а) AD||BC б)один из углов четырехугольника ABCD равен 130 град., найдите остальные углы.
Концы двух пересекающихся отрезков AC и BD лежат на двух параллельных плоскостях, причем расстояние между точками одной плоскости равны. Докажите, что: а) AD||BC б)один из углов четырехугольника ABCD равен 130 град., найдите остальные углы.
Для решения данной задачи начнем с первой части:
а) Для доказательства параллельности отрезков AD и BC рассмотрим следующую конструкцию. Пусть AC и BD пересекаются в точке O, которая лежит в плоскости, перпендикулярной обеим параллельным плоскостям. Так как AC и BD пересекаются, то линия пересечения параллельных плоскостей с плоскостью, содержащей эти отрезки, проходит через точку O. Расстояние между A и C равно расстоянию между B и D, следовательно, треугольники AOD и COB конгруэнтны (по первому признаку конгруэнтности треугольников: по двум сторонам и углу между ними, который равен 90 градусов, так как отрезки лежат в перпендикулярных плоскостях). Из конгруэнтности следует, что углы AOD и COB равны, а значит, AD параллельно BC.
б) Теперь рассмотрим углы четырехугольника ABCD, при условии, что один из углов равен 130 градусов. В четырехугольнике сумма углов равна 360 градусов. Пусть ∠ABC = 130°. Тогда, используя параллельность сторон AD и BC, можно сделать вывод, что ∠CDA = ∠ABC = 130° (внутренние односторонние углы при параллельных прямых AD и BC и секущей CD).
Так как AD || BC, это также означает, что ∠DAC = ∠BCA (соответственные углы). Следовательно, ∠BCA = ∠DAC. Поскольку сумма углов четырехугольника должна равняться 360 градусов, имеем:
130° + 130° + 2∠BCA = 360°, 2∠BCA = 360° - 260° = 100°, ∠BCA = ∠DAC = 50°.
Таким образом, углы четырехугольника ABCD равны 130°, 130°, 50° и 50°.
Для доказательства пункта (а) рассмотрим треугольники ACD и BCD. Поскольку точки C и D лежат на одной плоскости, то угол ACD равен сумме углов ACB и BCD. Аналогично, угол BCD равен сумме углов BCA и ACD. Так как расстояние между плоскостями равно, то уголы ACB и BCA равны. Из этого следует, что углы ACD и BCD также равны. Следовательно, отрезки AD и BC параллельны.
Для доказательства пункта (б) обратимся к тому, что углы четырехугольника ABCD в сумме равны 360 градусов. Поскольку AD || BC, то угол ADC равен углу ACB (по свойству параллельных прямых). Также из условия задачи известно, что один из углов равен 130 градусам. Итак, у нас есть два угла: один равен 130 градусам, а второй равен ACB. Их сумма равна 130 + ACB. Остается найти два оставшихся угла. Для этого вычтем сумму найденных углов из 360 градусов. Таким образом, мы найдем два оставшихся угла четырехугольника ABCD.
