Между сторонами угла AOB, равного 120°, взята точка С. Найдите величину угла АОС, если известно, что...

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами углов.

Из условия задачи мы знаем, что угол AOB равен 120 градусов. Пусть угол AOC равен x градусов. Тогда угол BOC будет равен 120 - x градусов.

По условию, разность углов AOC и BOC меньше их суммы в четыре раза:

|x - (120 - x)| < 4(x + 120 - x) |2x - 120| < 4(120) |2x - 120| < 480 -480 < 2x - 120 < 480 -360 < 2x < 600 -180 < x < 300

Таким образом, угол AOC может принимать значения в диапазоне от -180 до 300 градусов. Но так как угол не может быть отрицательным и не может превышать 180 градусов, то мы можем сделать вывод, что угол AOC равен 60 градусов.

Итак, величина угла АОС равна 60 градусов.

Давайте решим задачу по шагам.

1. Обозначения:

   • Пусть угол ( \angle AOC = x ).
   • Тогда угол ( \angle COB = 120^\circ - x ).

2. Условие задачи:

   • Разность углов ( \angle AOC ) и ( \angle COB ) меньше их суммы в четыре раза.

   Запишем это условие алгебраически: [ (\angle AOC - \angle COB) = \frac{1}{4}(\angle AOC + \angle COB) ]

   Подставим известные величины: [ (x - (120^\circ - x)) = \frac{1}{4}(x + (120^\circ - x)) ]

3. Упростим уравнение:

   • Слева: ( x - 120^\circ + x = 2x - 120^\circ )
   • Справа: ( \frac{1}{4}(x + 120^\circ - x) = \frac{1}{4} \times 120^\circ = 30^\circ )

   Подставим в уравнение: [ 2x - 120^\circ = 30^\circ ]

4. Решим уравнение: [ 2x - 120^\circ = 30^\circ ] [ 2x = 150^\circ ] [ x = 75^\circ ]

Таким образом, величина угла ( \angle AOC ) равна ( 75^\circ ).

Проверка:

• Угол ( \angle COB = 120^\circ - 75^\circ = 45^\circ ).
• Разность углов: ( 75^\circ - 45^\circ = 30^\circ ).
• Сумма углов: ( 75^\circ + 45^\circ = 120^\circ ).
• Четверть суммы: ( \frac{1}{4} \times 120^\circ = 30^\circ ).

Разность действительно равна четверти суммы, следовательно, решение верно.