M,N,K- середины сторон AB, BC и AC треугольника ABC ,CK = a, CN = b.
а) Выразите векторы CM, AB, AN через векторы a и b.
б)Докажите с помощью векторов ,что KN||AB.
M,N,K- середины сторон AB, BC и AC треугольника ABC ,CK = a, CN = b.
а) Выразите векторы CM, AB, AN через векторы a и b.
б)Докажите с помощью векторов ,что KN||AB.
а) Вектор CM можно выразить как сумму векторов CN и NM: CM = CN + NM = b + (1/2)(AB - AC).
Вектор AB можно выразить как сумму векторов AN и NB: AB = AN + NB = (1/2)(AC + BC) + (1/2)(BC - AC) = (1/2)(AC + BC - AC) = (1/2)BC.
Вектор AN можно выразить как сумму векторов AM и MN: AN = AM + MN = (1/2)(AB + AC) + (1/2)(AC - AB) = (1/2)(AB + AC - AB) = (1/2)AC.
б) Докажем, что KN||AB, используя свойство параллельности векторов: KN||AB, если вектор KN пропорционален вектору AB.
Из предыдущего пункта мы знаем, что вектор AB равен (1/2)BC, а вектор KN равен (1/2)(AC - BC). Покажем, что эти векторы пропорциональны, то есть их координаты пропорциональны: AB = (1/2)BC = (1/2)(a + b) = (1/2)a + (1/2)b, KN = (1/2)(AC - BC) = (1/2)(a + b - b) = (1/2)a.
Таким образом, векторы AB и KN пропорциональны, что означает, что KN||AB.
а) Рассмотрим треугольник ABC и заданные точки M, N, K как середины соответствующих сторон.
Вектор ( \vec{CM} ) можно найти, если рассмотреть, что точка M - середина AB. Следовательно, вектор от C к M будет равен полусумме векторов от C к A и от C к B, т.е. ( \vec{CM} = \frac{1}{2} (\vec{CA} + \vec{CB}) ).
Вектор ( \vec{AB} ) по правилу треугольника равен ( \vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB} ). Подставляя векторные значения, получим ( \vec{AB} = -\vec{a} + (\vec{b} + \vec{a}) = \vec{b} ).
Вектор ( \vec{AN} ) можно найти, учитывая, что N - середина BC. Вектор ( \vec{AN} ) равен вектору ( \vec{AC} ) плюс половина вектора ( \vec{CN} ), т.е. ( \vec{AN} = \vec{AC} + \frac{1}{2} \vec{CN} = -\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} ).
б) Докажем, что вектор ( \vec{KN} ) параллелен вектору ( \vec{AB} ).
Вектор ( \vec{KN} ) равен ( \vec{KN} = \vec{KN} = \vec{CN} - \vec{CK} ). Подставляя известные величины, получим ( \vec{KN} = \vec{b} - \vec{a} ).
Ранее мы нашли, что ( \vec{AB} = \vec{b} ). Теперь сравним ( \vec{KN} ) и ( \vec{AB} ). Вектор ( \vec{KN} = \vec{b} - \vec{a} ). Если мы домножим ( \vec{AB} ) на коэффициент ( k ), где ( k ) таков, что ( k\vec{b} = \vec{b} - \vec{a} ), то коэффициент ( k ) будет равен ( k = 1 - \frac{\vec{a}}{\vec{b}} ), что показывает, что ( \vec{KN} ) и ( \vec{AB} ) действительно параллельны, поскольку один можно выразить через другой с помощью умножения на скаляр.
Таким образом, векторно доказано, что ( KN ) параллельна ( AB ).
