Модуль вектора а равен 10. Его первая координата на 2 больше другую. Найдите координаты вектора а.

Обозначим координаты вектора ( \mathbf{a} ) как ( (x, y) ). По условию, ( x = y + 2 ).

Модуль вектора ( \mathbf{a} ) равен 10, что можно записать как:

[ \sqrt{x^2 + y^2} = 10 ]

Квадрат обеих сторон дает:

[ x^2 + y^2 = 100 ]

Подставим ( x = y + 2 ) в уравнение:

[ (y + 2)^2 + y^2 = 100 ]

Раскроем скобки:

[ y^2 + 4y + 4 + y^2 = 100 ]

Соберем подобные:

[ 2y^2 + 4y + 4 - 100 = 0 ]

[ 2y^2 + 4y - 96 = 0 ]

Разделим на 2:

[ y^2 + 2y - 48 = 0 ]

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 ]

Корни:

[ y = \frac{-2 \pm 14}{2} ]

Это дает два значения:

1. ( y_1 = 6 )
2. ( y_2 = -8 )

Теперь найдем соответствующие значения ( x ):

1. Если ( y = 6 ), то ( x = 6 + 2 = 8 ) → координаты ( (8, 6) ).
2. Если ( y = -8 ), то ( x = -8 + 2 = -6 ) → координаты ( (-6, -8) ).

Таким образом, возможные координаты вектора ( \mathbf{a} ): ( (8, 6) ) и ( (-6, -8) ).

Давайте обозначим координаты вектора ( \mathbf{a} ) как ( (x, y) ). Из условия задачи известно, что модуль вектора ( \mathbf{a} ) равен 10, а также, что первая координата (то есть ( x )) на 2 больше второй координаты (то есть ( y )). Это можно записать в виде уравнения:

[ x = y + 2 ]

Модуль вектора ( \mathbf{a} ) можно выразить через его координаты следующим образом:

[ |\mathbf{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} ]

Согласно условию задачи, модуль вектора равен 10. Подставим это значение в уравнение:

[ \sqrt{x^2 + y^2} = 10 ]

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

[ x^2 + y^2 = 100 ]

Теперь подставим выражение для ( x ) из первого уравнения во второе:

[ (y + 2)^2 + y^2 = 100 ]

Раскроем скобки:

[ (y^2 + 4y + 4) + y^2 = 100 ]

Соберем все члены:

[ 2y^2 + 4y + 4 = 100 ]

Теперь перенесем 100 в левую часть уравнения:

[ 2y^2 + 4y + 4 - 100 = 0 ]

Упростим уравнение:

[ 2y^2 + 4y - 96 = 0 ]

Теперь разделим все члены на 2:

[ y^2 + 2y - 48 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант ( D ) равен:

[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 ]

Теперь найдем корни уравнения:

[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 14}{2} ]

Таким образом, получаем два корня:

1. ( y_1 = \frac{12}{2} = 6 )
2. ( y_2 = \frac{-16}{2} = -8 )

Теперь найдем соответствующие значения ( x ) для каждого из найденных значений ( y ):

1. Если ( y = 6 ): [ x = y + 2 = 6 + 2 = 8 ] Таким образом, первая пара координат: ( (8, 6) ).

2. Если ( y = -8 ): [ x = y + 2 = -8 + 2 = -6 ] Таким образом, вторая пара координат: ( (-6, -8) ).

Итак, координаты вектора ( \mathbf{a} ) могут быть либо ( (8, 6) ), либо ( (-6, -8) ).

Для решения задачи найдем координаты вектора ( \mathbf{a} ) на основе представленных условий.

Дано:

1. Модуль вектора ( |\mathbf{a}| = 10 ).
2. Первая координата ( x_1 ) на 2 больше второй координаты ( x_2 ). То есть:
   [ x_1 = x_2 + 2 ]

Формула для модуля вектора:

Модуль вектора ( \mathbf{a} = (x_1, x_2) ) определяется как:
[ |\mathbf{a}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2} ]

Подставим известное значение ( |\mathbf{a}| = 10 ):
[ \sqrt{x_1^2 + x_2^2} = 10 ]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
[ x_1^2 + x_2^2 = 100 ]

Подставим зависимость между координатами:

Так как ( x_1 = x_2 + 2 ), то вместо ( x_1 ) подставляем ( x_2 + 2 ):
[ (x_2 + 2)^2 + x_2^2 = 100 ]

Раскроем скобки:
[ (x_2^2 + 4x_2 + 4) + x_2^2 = 100 ]

Сложим подобные слагаемые:
[ 2x_2^2 + 4x_2 + 4 = 100 ]

Упростим:
[ 2x_2^2 + 4x_2 - 96 = 0 ]

Разделим уравнение на 2, чтобы оно стало проще:
[ x_2^2 + 2x_2 - 48 = 0 ]

Решим квадратное уравнение:

Квадратное уравнение имеет вид:
[ x_2^2 + 2x_2 - 48 = 0 ]

Решим его с помощью дискриминанта:
[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-48) = 4 + 192 = 196 ]

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:
[ x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим значения:
[ x_2 = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 \pm 14}{2} ]

Получаем два корня:
[ x_2 = \frac{-2 + 14}{2} = 6 \quad \text{или} \quad x_2 = \frac{-2 - 14}{2} = -8 ]

Найдем ( x_1 ) для каждого случая:

1. Если ( x_2 = 6 ), то ( x_1 = x_2 + 2 = 6 + 2 = 8 ).
   Следовательно, вектор ( \mathbf{a} = (8, 6) ).

2. Если ( x_2 = -8 ), то ( x_1 = x_2 + 2 = -8 + 2 = -6 ).
   Следовательно, вектор ( \mathbf{a} = (-6, -8) ).

Проверка модуля вектора:

Для ( \mathbf{a} = (8, 6) ):
[ |\mathbf{a}| = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 ]

Для ( \mathbf{a} = (-6, -8) ):
[ |\mathbf{a}| = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 ]

Оба случая удовлетворяют условиям задачи.

Ответ:

Координаты вектора ( \mathbf{a} ) могут быть:
[ (8, 6) \quad \text{или} \quad (-6, -8). ]