На диагонали АС параллелограмма АВСD взята точка Р, прямые ВР и СD пересекаются в точке Q. Найдите отношение...

Рассмотрим параллелограмм (ABCD) с диагональю (AC), на которой взята точка (P) так, что (\frac{AP}{PC} = \frac{3}{7}). Прямые (BP) и (CD) пересекаются в точке (Q). Необходимо найти отношение (\frac{CQ}{DQ}).

1. Соотношения на диагонали параллелограмма:

   В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, то есть (O) — точка пересечения диагоналей (AC) и (BD), и (AO = OC), (BO = OD).

2. Зададим координаты точек:

   Пусть (A = (0,0)), (C = (a,0)). Тогда точка (P) делит (AC) в отношении (3:7), то есть координаты точки (P = (x, 0)) можно найти как: [ x = \frac{3a + 7 \cdot 0}{3+7} = \frac{3a}{10} ] Таким образом, точка (P) имеет координаты (\left(\frac{3a}{10}, 0\right)).

3. Векторное уравнение прямой (BP):

   Пусть (B = (b, h)) (координаты точки (B)). Уравнение прямой (BP) можно записать как: [ y = \frac{h}{b - \frac{3a}{10}} \left(x - \frac{3a}{10}\right) ]

4. Уравнение прямой (CD):

   Поскольку (D = (a + b, h)) (параллелограмм), уравнение прямой (CD) будет: [ y = \frac{h}{a} (x - a) ]

5. Нахождение точки пересечения (Q):

   Точка (Q) — пересечение прямых (BP) и (CD). Приравняем их уравнения: [ \frac{h}{b - \frac{3a}{10}} \left(x - \frac{3a}{10}\right) = \frac{h}{a} (x - a) ] Упростим уравнение: [ \frac{x - \frac{3a}{10}}{b - \frac{3a}{10}} = \frac{x - a}{a} ] [ a(x - \frac{3a}{10}) = (b - \frac{3a}{10})(x - a) ] Решая это уравнение, найдем координаты точки (Q).

6. Отношение (\frac{CQ}{DQ}):

   Рассмотрим треугольники (CQD). Используем теорему Менелая для треугольника (ACD) с секущей (BQP):

   [ \frac{AP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QD} \cdot \frac{DB}{BA} = 1 ] Известно, что (\frac{AP}{PC} = \frac{3}{7}) и (\frac{DB}{BA} = 1) (так как (D) и (B) лежат на одной стороне и (B) делит (AD) в отношении (1:1)).

   Тогда: [ \frac{3}{7} \cdot \frac{CQ}{QD} \cdot 1 = 1 ] Отсюда: [ \frac{CQ}{QD} = \frac{7}{3} ]

Таким образом, отношение (\frac{CQ}{DQ}) равно ( \frac{7}{3} ).

Для решения данной задачи воспользуемся свойством подобия треугольников.

Из условия известно, что отношение длин отрезков АР и СР равно 3:7. Так как точка Р лежит на диагонали АС параллелограмма, то треугольники ΔAQR и ΔCQR подобны по двум углам, так как у них соответственно равны углы QAR и QCR, а также равны углы QRA и QRC.

Следовательно, отношение сторон АQ и CQ равно отношению сторон AR и CR, то есть AQ/CQ = AR/CR = 3/7.

Теперь заметим, что треугольники ΔCQR и ΔDQR также подобны, так как у них соответственно равны углы CQR и DQR, а также равны углы CRQ и DRQ.

Из подобия треугольников ΔCQR и ΔDQR следует, что CQ/DQ = CR/DR. Нам известно, что CQ = AQ - AC и DQ = AD - AQ.

Таким образом, получаем, что CQ/DQ = CR/DR = (7/10) / (3/10) = 7/3.

Ответ: CQ:DQ = 7:3.