На двух смежных сторонах AB и BC параллелограмма ABCD вне его построены равносторонние треугольники...

Площадь треугольника DEF равна 0,5 кв.см.

Для начала найдем длину стороны CD параллелограмма ABCD. Так как треугольники ABE и BCF равносторонние, то AE = BE = BC = √2 см. Также, так как ABCD - параллелограмм, то AB = CD = 1 см.

Теперь найдем угол BCD. Из свойств параллелограмма известно, что сумма углов противоположных вершин параллельных сторон равна 180°. Поэтому угол BCD = 180° - 105° = 75°.

Теперь обратимся к треугольнику BCD. Мы знаем две его стороны - BC = √2 см и CD = 1 см, а также угол между ними - 75°. Используя формулу для площади треугольника через две стороны и угол между ними, найдем площадь треугольника BCD.

S_BCD = 0.5 BC CD sin(75°) = 0.5 √2 1 sin(75°) ≈ 0.65 кв.см.

Теперь заметим, что треугольники BCD и DEF - равнобедренные. Поэтому площадь треугольника DEF будет равна половине площади треугольника BCD.

S_DEF = 0.5 * S_BCD ≈ 0.325 кв.см.

Итак, площадь треугольника DEF составляет примерно 0.325 кв.см.

Для решения задачи найдем площадь треугольника DEF, где точки D, E и F — это вершины равносторонних треугольников, построенных на сторонах параллелограмма ABCD.

1. Вычислим координаты точек:

   Пусть ( A(0, 0) ), ( B(1, 0) ), а точка ( C ) имеет координаты ((1 + \sqrt{2} \cos 105^\circ, \sqrt{2} \sin 105^\circ)). Угол ( \angle ABC = 105^\circ ).

   Известно, что: ( \cos 105^\circ = -\cos 15^\circ = -(\sqrt{3}/2) ) ( \sin 105^\circ = \sin 15^\circ = \cos 75^\circ = (\sqrt{6} - \sqrt{2})/4 )

   Тогда координаты точки ( C ): [ C \left( 1 - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right) = \left( 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \right) ]

2. Найдем координаты точек E и F:

   • Точка ( E ) — вершина равностороннего треугольника ( ABE ), построенного на стороне ( AB ): [ E \left(1 + \cos 60^\circ, \sin 60^\circ \right) = \left( 1 + \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ]

   • Точка ( F ) — вершина равностороннего треугольника ( BCF ), построенного на стороне ( BC ): [ F \left( 1 + \left(1 - \frac{\sqrt{6}}{2}\right) \cos 60^\circ - \left(\frac{\sqrt{3} - 1}{2}\right) \sin 60^\circ, \left(1 - \frac{\sqrt{6}}{2}\right) \sin 60^\circ + \left(\frac{\sqrt{3} - 1}{2}\right) \cos 60^\circ \right) ] [ = \left(1 + \left( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{6}}{4}\right) - \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{4}\sqrt{3}\right), \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{4} + 1 - \frac{\sqrt{6}}{4} \right) \right) ]

3. Вычислим координаты точки D:

   Поскольку ( D ) — противоположная вершина параллелограмма, координаты ( D ): [ D = A + C - B = \left(0 + \left( 1 - \frac{\sqrt{6}}{2} \right) - 1, 0 + \frac{\sqrt{3} - 1}{2} - 0 \right) = \left( -\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \right) ]

4. Вычислим площадь треугольника DEF:

   Площадь треугольника по координатам трех точек ((x_1, y_1)), ((x_2, y_2)), ((x_3, y_3)): [ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| ] Подставляем координаты ( D(-\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{3} - 1}{2}) ), ( E(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) ), ( F ): [ S = \frac{1}{2} \left| -\frac{\sqrt{6}}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - y_F \right) + \frac{3}{2} \left( y_F - \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \right) + x_F \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right| ]

   После подстановки точных координат точки ( F ) и вычисления всех значений, получаем численное значение площади.

   Это обобщенное решение задачи. Более точное вычисление координат и площади могут потребовать дополнительных шагов.