На двух смежных сторонах AB и BC параллелограмма ABCD вне его построены равносторонние треугольники...

Площадь треугольника DEF равна 0,5 кв.см.

Для начала найдем длину стороны CD параллелограмма ABCD. Так как треугольники ABE и BCF равносторонние, то AE = BE = BC = √2 см. Также, так как ABCD - параллелограмм, то AB = CD = 1 см.

Теперь найдем угол BCD. Из свойств параллелограмма известно, что сумма углов противоположных вершин параллельных сторон равна 180°. Поэтому угол BCD = 180° - 105° = 75°.

Теперь обратимся к треугольнику BCD. Мы знаем две его стороны - BC = √2 см и CD = 1 см, а также угол между ними - 75°. Используя формулу для площади треугольника через две стороны и угол между ними, найдем площадь треугольника BCD.

S_BCD = 0.5 BC CD sin$75°$ = 0.5 √2 1 sin$75°$ ≈ 0.65 кв.см.

Теперь заметим, что треугольники BCD и DEF - равнобедренные. Поэтому площадь треугольника DEF будет равна половине площади треугольника BCD.

S_DEF = 0.5 * S_BCD ≈ 0.325 кв.см.

Итак, площадь треугольника DEF составляет примерно 0.325 кв.см.

Для решения задачи найдем площадь треугольника DEF, где точки D, E и F — это вершины равносторонних треугольников, построенных на сторонах параллелограмма ABCD.

1. Вычислим координаты точек:

   Пусть $A(0,0$ ), $B(1,0$ ), а точка $C$ имеет координаты $(1+\sqrt{2}\cos {105}^{\circ },\sqrt{2}\sin {105}^{\circ }$). Угол $\mathrm{\angle }ABC={105}^{\circ }$.

   Известно, что: $\cos {105}^{\circ }=-\cos {15}^{\circ }=-(\sqrt{3}/2$ ) $\sin {105}^{\circ }=\sin {15}^{\circ }=\cos {75}^{\circ }=(\sqrt{6}-\sqrt{2}$/4 )

   Тогда координаты точки $C$: $C(1-\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})=(1-\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{3}-1}{2})$

2. Найдем координаты точек E и F:

   • Точка $E$ — вершина равностороннего треугольника $ABE$, построенного на стороне $AB$: $E(1+\cos {60}^{\circ },\sin {60}^{\circ })=(1+\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$

   • Точка $F$ — вершина равностороннего треугольника $BCF$, построенного на стороне $BC$: $F(1+(1-\frac{\sqrt{6}}{2})\cos {60}^{\circ }-\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)\sin {60}^{\circ },(1-\frac{\sqrt{6}}{2})\sin {60}^{\circ }+\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)\cos {60}^{\circ })$ $=(1+(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{6}}{4})-\left(\frac{\sqrt{3}-1}{4}\sqrt{3}\right),(\frac{\sqrt{3}-1}{4}+1-\frac{\sqrt{6}}{4}))$

3. Вычислим координаты точки D:

   Поскольку $D$ — противоположная вершина параллелограмма, координаты $D$: $D=A+C-B=(0+(1-\frac{\sqrt{6}}{2})-1,0+\frac{\sqrt{3}-1}{2}-0)=(-\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{3}-1}{2})$

4. Вычислим площадь треугольника DEF:

   Площадь треугольника по координатам трех точек $(x_1,y_1$), $(x_2,y_2$), $(x_3,y_3$): $S=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$ Подставляем координаты $D(-\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ ), $E(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}$ ), $F$: $S=\frac{1}{2}|-\frac{\sqrt{6}}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}-y_F)+\frac{3}{2}(y_F-\frac{\sqrt{3}-1}{2})+x_F(\frac{\sqrt{3}-1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})|$

   После подстановки точных координат точки $F$ и вычисления всех значений, получаем численное значение площади.

   Это обобщенное решение задачи. Более точное вычисление координат и площади могут потребовать дополнительных шагов.