На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=2, BH=8. Найдите CH.

Используя теорему Пифагора, найдем длину гипотенузы: AC = √(AH^2 + BH^2) = √(2^2 + 8^2) = √(4 + 64) = √68 = 2√17

Затем найдем площадь треугольника по формуле S = 0.5 AC CH: S = 0.5 2√17 CH S = √17 * CH

Также площадь треугольника можно выразить через катеты: S = 0.5 AH BH = 0.5 2 8 = 8

Приравниваем два выражения для площади: √17 * CH = 8 CH = 8/√17 = 8√17/17

Итак, CH = 8√17/17.

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Определим известные данные:

   • Треугольник ( ABC ) — прямоугольный, где ( \angle ABC = 90^\circ ).
   • Гипотенуза ( AB ) разделена высотой ( CH ) на два отрезка: ( AH = 2 ) и ( BH = 8 ).

2. Найдем длину гипотенузы ( AB ): [ AB = AH + BH = 2 + 8 = 10 ]

3. Используем свойства высоты в прямоугольном треугольнике: Известно, что высота ( CH ), опущенная на гипотенузу ( AB ), делит треугольник ( ABC ) на два подобных треугольника ( AHC ) и ( BHC ), которые оба подобны треугольнику ( ABC ).

4. Используем теорему о высоте в прямоугольном треугольнике: Высота ( CH ) является средним геометрическим отрезков, на которые она делит гипотенузу ( AB ). То есть выполняется следующее соотношение: [ CH^2 = AH \cdot BH ]

5. Подставляем известные значения в формулу: [ CH^2 = 2 \cdot 8 = 16 ]

6. Находим ( CH ) путем извлечения квадратного корня: [ CH = \sqrt{16} = 4 ]

Таким образом, высота ( CH ), опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника ( ABC ), равна ( 4 ).

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Из условия задачи имеем: AH = 2, BH = 8.

Применим теорему Пифагора к треугольнику ABC: AC^2 = AH^2 + CH^2 BC^2 = BH^2 + CH^2

Так как треугольник ABC прямоугольный, то AC^2 + BC^2 = AB^2 (по теореме Пифагора).

Подставим известные значения и найдем значения AC и BC: AC^2 = 2^2 + CH^2 = 4 + CH^2 BC^2 = 8^2 + CH^2 = 64 + CH^2 AB^2 = AC^2 + BC^2

Таким образом, получаем: 4 + CH^2 + 64 + CH^2 = AB^2 68 + 2CH^2 = AB^2

Так как AB - это гипотенуза, то AB = √(AC^2 + BC^2) = √(4 + CH^2 + 64 + CH^2) = √(68 + 2CH^2)

Подставляем найденное значение AB в уравнение: 68 + 2CH^2 = (√(68 + 2CH^2))^2 68 + 2CH^2 = 68 + 2CH^2

Таким образом, CH = 0.

Итак, получаем, что длина отрезка CH равна 0.