На окружности радиуса 5 отмечена точка С. Отрезок АВ — диаметр окружности, AC=8. Найдите sin∠ABC.

Чтобы найти (\sin \angle ABC), начнем с анализа данной задачи. Нам известны следующие параметры:

1. Окружность радиуса ( R = 5 ).
2. Точка ( C ) на окружности так, что ( AC = 8 ).
3. ( AB ) — диаметр окружности.

Давайте рассмотрим, что это означает. Поскольку ( AB ) — диаметр окружности, длина ( AB = 2R = 10 ).

Теперь заметим, что треугольник ( ACB ) является прямоугольным, так как угол ( ACB ) опирается на диаметр ( AB ). В прямоугольном треугольнике ( ACB ) гипотенуза ( AB ) и сторона ( AC ) известны. Мы можем найти сторону ( BC ) с помощью теоремы Пифагора: [ AB^2 = AC^2 + BC^2 ] Подставим известные значения: [ 10^2 = 8^2 + BC^2 ] [ 100 = 64 + BC^2 ] [ BC^2 = 100 - 64 ] [ BC^2 = 36 ] [ BC = 6 ]

Теперь у нас есть все стороны треугольника ( ACB ): ( AB = 10 ), ( AC = 8 ), ( BC = 6 ).

Нам нужно найти (\sin \angle ABC). В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла (\angle ABC) противолежащий катет — это ( AC ), а гипотенуза — ( AB ): [ \sin \angle ABC = \frac{AC}{AB} ] Подставим значения: [ \sin \angle ABC = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} ]

Таким образом, (\sin \angle ABC = \frac{4}{5}).

Для нахождения sin∠ABC нам нужно сначала найти длину отрезка BC. Так как AC = 8, то BC = AB - AC = 2 * 5 - 8 = 2.

Теперь мы можем найти sin∠ABC, используя теорему синусов. Для треугольника ABC:

sin∠ABC = BC / AB = 2 / 10 = 0.2.

Итак, sin∠ABC равен 0.2.

sin∠ABC = 3/5