На отрезке AB выбрана точка C так ,что AC=21 и BC=8. Построена окружность с центром A ,проходящая через C .Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.
На отрезке AB выбрана точка C так ,что AC=21 и BC=8. Построена окружность с центром A ,проходящая через C .Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.
Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойство касательной, проведенной к окружности.
Так как AC и BC - отрезки, а окружность проходит через точку C и имеет центр в точке A, то AC и BC являются радиусами данной окружности. Таким образом, радиус окружности равен 21, а расстояние между центром окружности и точкой B (т.е. отрезок AB) равно 21 + 8 = 29.
Теперь, чтобы найти длину отрезка касательной, проведенной из точки B к данной окружности, нам необходимо воспользоваться теоремой о касательной, проведенной к окружности: касательная к окружности, проведенная из внешней точки, равна по длине касательной, проведенной из этой же точки к окружности, проходящей через данную точку.
Таким образом, длина отрезка касательной, проведенной из точки B к данной окружности, равна 29.
Итак, длина отрезка касательной равна 29.
Для решения этой задачи необходимо применить теорему о касательной и секущей.
Давайте разберёмся с условиями задачи. У нас есть отрезок ( AB ), на котором выбрана точка ( C ) так, что ( AC = 21 ) и ( BC = 8 ). Построена окружность с центром в точке ( A ), проходящая через точку ( C ). Это значит, что радиус окружности равен ( AC = 21 ).
Нам нужно найти длину отрезка касательной, проведённой из точки ( B ) к этой окружности.
Согласно теореме о касательной и секущей, если из внешней точки ( B ) к окружности проведены касательная ( BD ) и секущая ( BC ), пересекающая окружность в точке ( C ), то выполняется следующее равенство:
[ BD^2 = BC \cdot BE, ]
где ( E ) — вторая точка пересечения секущей с окружностью. Однако в данной задаче ( E ) совпадает с точкой ( C ), так как точка ( C ) уже лежит на окружности и ( BC ) является отрезком, соединяющим ( B ) с ( C ).
В нашем случае секущая ( BC ) не пересекает окружность в другой точке, так как точка ( C ) уже является точкой пересечения. Поэтому формула упрощается до:
[ BD^2 = BC \cdot (BC + 2 \cdot AC). ]
Подставим известные значения:
[ BD^2 = 8 \cdot (8 + 2 \cdot 21). ]
Сначала посчитаем выражение в скобках:
[ 8 + 2 \cdot 21 = 8 + 42 = 50. ]
Тогда:
[ BD^2 = 8 \cdot 50 = 400. ]
Теперь найдём ( BD ):
[ BD = \sqrt{400} = 20. ]
Таким образом, длина отрезка касательной ( BD ), проведённой из точки ( B ) к окружности, равна 20.
