На поверхности шара выбраны точки A и B так, что AB=40 см, а расстояние от центра шара до прямой AB...

Площадь сечения шара, проведенного через точки A и B на расстоянии 7 см от центра шара, равна 49π см².

Для решения задачи давайте разберём её поэтапно.

1. Понимание задачи:

   • Нам дан шар с центром ( O ).
   • На поверхности шара выбраны точки ( A ) и ( B ) так, что ( AB = 40 ) см.
   • Расстояние от центра шара ( O ) до прямой ( AB ) равно ( 15 ) см.
   • Требуется найти площадь сечения шара, проведённого через точки ( A ) и ( B ) и находящегося на расстоянии ( 7 ) см от центра шара.

2. Выясним радиус шара:

   • Пусть радиус шара равен ( R ).
   • Рассмотрим треугольник, образованный центром ( O ), точками на прямой ( AB ) и перпендикуляром из точки ( O ) на прямую ( AB ).
   • Прямая ( AB ) является хордой шара.
   • В таком треугольнике высота (расстояние от ( O ) до ( AB )) равна ( 15 ) см, а половина хорды ( AB ) равна ( 20 ) см (( AB / 2 = 40 / 2 = 20 )).

3. Используем теорему Пифагора:

   • В прямоугольном треугольнике ( OMC ) (где ( C ) — середина отрезка ( AB )), гипотенуза ( OM ) — это радиус ( R ), катеты ( OC = 15 ) см и ( CM = 20 ) см.
   • По теореме Пифагора: [ R^2 = OC^2 + CM^2 ] Подставляем известные значения: [ R^2 = 15^2 + 20^2 ] [ R^2 = 225 + 400 ] [ R^2 = 625 ] [ R = \sqrt{625} = 25 \text{ см} ]

4. Находим площадь сечения шара:

   • Сечение шара, проведённое на расстоянии 7 см от центра шара, представляет собой круг.
   • Радиус этого круга можно найти, используя радиус шара и расстояние от центра шара до плоскости сечения.
   • Радиус круга ( r ) в сечении можно найти по теореме Пифагора: [ r^2 + 7^2 = 25^2 ] [ r^2 + 49 = 625 ] [ r^2 = 625 - 49 ] [ r^2 = 576 ] [ r = \sqrt{576} = 24 \text{ см} ]

5. Площадь сечения:

   • Площадь круга с радиусом ( r ) рассчитывается по формуле: [ S = \pi r^2 ] Подставляем значение радиуса: [ S = \pi \cdot 24^2 ] [ S = \pi \cdot 576 ] [ S = 576\pi \text{ кв.см} ]

Таким образом, площадь сечения шара, проведённого через точки ( A ) и ( B ) на расстоянии 7 см от центра шара, равна ( 576\pi ) кв.см.

Для решения данной задачи нам необходимо представить ситуацию в виде плоскости, проходящей через точки A и B на расстоянии 7 см от центра шара. Эта плоскость будет пересекать шар и образует сечение.

Так как расстояние от центра шара до прямой AB равно 15 см, то можно построить прямоугольный треугольник OAB, где O - центр шара, OA и OB - радиусы шара, а AB - хорда, равная 40 см.

Так как прямоугольный треугольник, образованный радиусом и хордой в шаре, является прямоугольным, то мы можем применить теорему Пифагора: OA^2 + AB^2 = OB^2 OA^2 + 40^2 = (OA + 15)^2 OA^2 + 1600 = OA^2 + 30OA + 225 30OA = 1375 OA ≈ 45.8333 см

Теперь мы можем построить прямоугольный треугольник OAD, где AD - расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через точки A и B на расстоянии 7 см от центра шара.

Применим теорему Пифагора к этому треугольнику: OA^2 = AD^2 + 7^2 45.8333^2 = AD^2 + 49 AD ≈ 42.8937 см

Теперь, когда мы знаем радиус сечения шара (AD), мы можем найти площадь сечения, используя формулу для площади круга: S = πr^2 S = π(42.8937)^2 S ≈ 5794.77 см^2

Итак, площадь сечения шара, проведенного через точки A и B на расстоянии 7 см от центра шара, составляет примерно 5794.77 квадратных сантиметра.