На сторонах AB и AC прямоугольного треугольника ABC ∠C=90∘ отмечены точки D и E соответственно. Найдите...

В данной задаче нам необходимо найти длину отрезка ( DE ), где ( D ) и ( E ) — точки на сторонах ( AB ) и ( AC ) прямоугольного треугольника ( ABC ) с углом ( C = 90^\circ ).

Давайте начнем с определения координат вершин треугольника. Поскольку ( C ) — это прямой угол, мы можем разместить треугольник в координатной плоскости следующим образом:

• Пусть ( C(0, 0) ).
• Пусть ( A(0, 4) ) (так как ( AC = 4 )).
• Пусть ( B(2, 0) ) (так как ( BC = 2\sqrt{5} ), и мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения координат точки ( B )).

Теперь найдем длины ( AB ) и ( AC ):

• Длина ( AB ) может быть найдена по формуле: [ AB = \sqrt{(0 - 2)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ]

Теперь мы можем определить координаты точек ( D ) и ( E ):

• Точка ( D ) на стороне ( AB ) делит ( AB ) в отношении ( BD = 2 ). Поскольку ( AB = 2\sqrt{5} ), мы можем найти координаты точки ( D ):

  • Координата ( D ) будет находиться на некотором расстоянии от ( B ) вдоль отрезка ( AB ). Так как ( BD = 2 ): [ AD = AB - BD = 2\sqrt{5} - 2 ] Теперь найдем координаты точки ( D ) с использованием параметрического уравнения отрезка ( AB ): [ D = \left(2 - \frac{2}{2\sqrt{5}} \cdot 2, 0 + \frac{4}{2\sqrt{5}} \cdot 2\right) = \left(2 - \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{8}{\sqrt{5}}\right) ]

• Точка ( E ) находится на стороне ( AC ) и отстоит от ( C ) на единицу ( CE = 1 ). Так как ( AC ) располагается вертикально, то координаты точки ( E ) будут: [ E(0, 1) ]

Теперь мы можем найти длину отрезка ( DE ) с использованием формулы для расстояния между двумя точками: [ DE = \sqrt{(x_D - x_E)^2 + (y_D - y_E)^2} ] Подставляем значения: [ x_D = 2 - \frac{2}{\sqrt{5}}, \quad y_D = \frac{8}{\sqrt{5}}, \quad x_E = 0, \quad y_E = 1 ] Тогда: [ DE = \sqrt{\left(2 - \frac{2}{\sqrt{5}} - 0\right)^2 + \left(\frac{8}{\sqrt{5}} - 1\right)^2} ]

Теперь упростим это выражение:

1. Для первой части: [ 2 - \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5}} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{5}} ]

2. Для второй части: [ \frac{8}{\sqrt{5}} - 1 = \frac{8 - \sqrt{5}}{\sqrt{5}} ]

Таким образом, мы можем подставить и упростить: [ DE = \sqrt{\left(\frac{2(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{5}}\right)^2 + \left(\frac{8 - \sqrt{5}}{\sqrt{5}}\right)^2} ]

Теперь, если подставить и упростить, мы получим: [ = \sqrt{\frac{4(5 - 2\sqrt{5} + 1) + (64 - 16\sqrt{5} + 5)}{5}} ] [ = \sqrt{\frac{4(6 - 2\sqrt{5}) + 69 - 16\sqrt{5}}{5}} = \sqrt{\frac{24 - 8\sqrt{5} + 69 - 16\sqrt{5}}{5}} = \sqrt{\frac{93 - 24\sqrt{5}}{5}} ]

Это и будет длина отрезка ( DE ).

Рассмотрим задачу и найдем длину отрезка ( DE ). Дано:

• (\triangle ABC) — прямоугольный с прямым углом при вершине ( C ) (( \angle C = 90^\circ )).
• ( AC = 4 ), ( BC = 2\sqrt{5} ), ( CE = 1 ), ( BD = 2 ).
• Требуется найти длину ( DE ), где точки ( D ) и ( E ) лежат на сторонах ( AB ) и ( AC ) соответственно.

Шаг 1. Найдем длину гипотенузы ( AB )

По теореме Пифагора: [ AB^2 = AC^2 + BC^2. ] Подставим значения: [ AB^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 20 = 36. ] Следовательно: [ AB = \sqrt{36} = 6. ]

Шаг 2. Координаты вершин треугольника ( ABC )

Для удобства решения разместим треугольник ( \triangle ABC ) в координатной плоскости:

• Точка ( C ) в начале координат ((0, 0)),
• Точка ( A ) на оси ( x ), то есть ( A(4, 0) ) (так как ( AC = 4 )),
• Точка ( B ) на оси ( y ), то есть ( B(0, 2\sqrt{5}) ) (так как ( BC = 2\sqrt{5} )).

Шаг 3. Координаты точек ( D ) и ( E )

1. Точка ( E ) лежит на стороне ( AC ), а её расстояние от ( C ) равно ( CE = 1 ). Так как ( AC ) лежит на оси ( x ), координаты ( E ) будут: [ E(1, 0). ]

2. Точка ( D ) лежит на стороне ( AB ), а её расстояние от ( B ) равно ( BD = 2 ). Сначала найдём уравнение прямой ( AB ), чтобы определить точку ( D ).

Уравнение прямой ( AB ): Прямая проходит через точки ( A(4, 0) ) и ( B(0, 2\sqrt{5}) ). Найдём её угловой коэффициент (( k )): [ k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2\sqrt{5} - 0}{0 - 4} = -\frac{\sqrt{5}}{2}. ] Уравнение прямой ( AB ) имеет вид: [ y = -\frac{\sqrt{5}}{2}x + 2\sqrt{5}. ]

Координаты точки ( D ): Расположим точку ( D ) на прямой ( AB ) и найдём её координаты. Пусть ( D(x, y) ). Расстояние от ( D(x, y) ) до ( B(0, 2\sqrt{5}) ) равно ( BD = 2 ). Используем формулу расстояния между двумя точками: [ \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 2\sqrt{5})^2} = 2. ] Возведём в квадрат: [ x^2 + (y - 2\sqrt{5})^2 = 4. ] Подставим уравнение прямой ( AB ), ( y = -\frac{\sqrt{5}}{2}x + 2\sqrt{5} ), в уравнение окружности: [ x^2 + \left(-\frac{\sqrt{5}}{2}x + 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5}\right)^2 = 4. ] Упростим: [ x^2 + \left(-\frac{\sqrt{5}}{2}x\right)^2 = 4. ] [ x^2 + \frac{5}{4}x^2 = 4. ] [ \frac{4}{4}x^2 + \frac{5}{4}x^2 = 4. ] [ \frac{9}{4}x^2 = 4. ] [ x^2 = \frac{16}{9}. ] [ x = \pm \frac{4}{3}. ]

Теперь найдём соответствующие значения ( y ) для ( x = \frac{4}{3} ) и ( x = -\frac{4}{3} ). Подставим в уравнение прямой ( AB ):

1. При ( x = \frac{4}{3} ): [ y = -\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{4}{3} + 2\sqrt{5} = -\frac{2\sqrt{5}}{3} + 2\sqrt{5} = \frac{6\sqrt{5}}{3} = \frac{4\sqrt{5}}{3}. ] Координаты точки ( D_1 ): ( \left(\frac{4}{3}, \frac{4\sqrt{5}}{3}\right) ).

2. При ( x = -\frac{4}{3} ): [ y = -\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) + 2\sqrt{5} = \frac{2\sqrt{5}}{3} + 2\sqrt{5} = \frac{8\sqrt{5}}{3}. ] Координаты точки ( D_2 ): ( \left(-\frac{4}{3}, \frac{8\sqrt{5}}{3}\right) ).

Шаг 4. Длина отрезка ( DE )

Теперь вычислим длину ( DE ) для каждой из точек ( D ). Используем формулу расстояния между двумя точками: [ DE = \sqrt{(x_D - x_E)^2 + (y_D - y_E)^2}. ]

1. Для ( D_1\left(\frac{4}{3}, \frac{4\sqrt{5}}{3}\right) ) и ( E(1, 0) ): [ DE = \sqrt{\left(\frac{4}{3} - 1\right)^2 + \left(\frac{4\sqrt{5}}{3} - 0\right)^2}. ] [ DE = \sqrt{\left(\frac{4}{3} - \frac{3}{3}\right)^2 + \left(\frac{4\sqrt{5}}{3}\right)^2}. ] [ DE = \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{4\sqrt{5}}{3}\right)^2}. ] [ DE = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{80}{9}} = \sqrt{\frac{81}{9}} = \sqrt{9} = 3. ]

2. Для ( D_2\left(-\frac{4}{3}, \frac{8\sqrt{5}}{3}\right) ) и ( E(1, 0) ), аналогично: [ DE = 3. ]

Ответ:

Длина отрезка ( DE = 3 ).