На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены точки K и E так, что BK=KC,CE:ED=2:3.Выразите векторы...

Вектор AK = 2/5 a - 1/5 b Вектор AE = 3/5 a - 2/5 b Вектор KE = 1/5 a + 3/5 b

Для начала разберемся с положением точек K и E на сторонах BC и CD соответственно. Так как BK = KC, точка K делит сторону BC пополам. По условию CE:ED = 2:3, следовательно, точка E делит сторону CD в отношении 2:3.

Поскольку K делит BC пополам, мы можем выразить вектор BK (или KC, так как BK = KC) через векторы сторон параллелограмма: [ \vec{BK} = \vec{KC} = \frac{1}{2} \vec{BC} ] Используя свойство параллелограмма, что противоположные стороны равны и параллельны, мы имеем: [ \vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC} = -\vec{AB} + \vec{AD} = -\vec{a} + \vec{b} ] Таким образом, [ \vec{BK} = \frac{1}{2} (-\vec{a} + \vec{b}) ] [ \vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} = \vec{a} + \frac{1}{2} (-\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} ]

Теперь рассмотрим точку E на стороне CD. Вектор CE можно выразить как: [ \vec{CE} = \frac{2}{5} \vec{CD} ] Используя тот же принцип, что и ранее (противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны): [ \vec{CD} = \vec{CA} + \vec{AD} = -\vec{AC} + \vec{AD} = -(-\vec{AB} + \vec{AD}) + \vec{AD} = \vec{AB} = \vec{a} ] Таким образом, [ \vec{CE} = \frac{2}{5} \vec{a} ] [ \vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE} = \vec{b} + \vec{CE} = \vec{b} + \frac{2}{5} \vec{a} ]

Наконец, вектор KE можно найти через векторы AK и AE: [ \vec{KE} = \vec{AE} - \vec{AK} = \left(\vec{b} + \frac{2}{5} \vec{a}\right) - \left(\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}\right) ] [ \vec{KE} = \vec{b} + \frac{2}{5} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} = \left(\frac{2}{5} - \frac{1}{2}\right) \vec{a} + \left(1 - \frac{1}{2}\right) \vec{b} ] [ \vec{KE} = -\frac{1}{10} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} ]

Итак, векторы выражаются следующим образом: [ \vec{AK} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} ] [ \vec{AE} = \vec{b} + \frac{2}{5} \vec{a} ] [ \vec{KE} = -\frac{1}{10} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} ]

Для начала обозначим векторы AK, AE и KE как векторы x, y и z соответственно. Также обозначим векторы AB и AD как векторы a и b соответственно.

Так как BK=KC, то вектор BK равен вектору KC. Также, так как CE:ED=2:3, то вектор CE равен 2/5 от вектора CD, а вектор ED равен 3/5 от вектора CD.

Таким образом, вектор AK можно представить как сумму векторов AB и BK: x = a + BK

Вектор BK можно представить как разность векторов BC и KC, но так как BC параллелен AD, то вектор BC равен вектору AD: BK = AD - KC

Так как KC равен 1/2 вектора CD, то вектор KC можно представить как 1/2 вектора CD: KC = 1/2 * CD

Так как CD равен сумме векторов CE и ED, то вектор CD можно представить как сумму векторов CE и ED: CD = CE + ED

Подставляя все полученные выражения в выражение для вектора AK, получим: x = a + AD - 1/2 * CD

Аналогично, можно выразить векторы AE и KE через векторы a и b.