На сторонах угла A отмечены точки B и C так, что AB=AC. Через точки B и С проведены прямые, перпендикулярные...

Для доказательства того, что MB=MC, рассмотрим треугольники MAB и MAC.

Поскольку прямая BM перпендикулярна к стороне AB угла A, то угол MBK прямой, где K - проекция точки M на сторону AB. Аналогично, угол MCL прямой, где L - проекция точки M на сторону AC.

Так как AB=AC и угол ABM равен углу AMC (они вертикальные), то треугольники MAB и MAC равнобедренные. Следовательно, MK=ML и угол KMB равен углу LMC.

Так как угол MBK прямой и равен углу LMC, то треугольники MBK и MLC подобны по признаку угловой сходности. Следовательно, отношение сторон MB и MK равно отношению сторон MC и ML.

Но MK=ML, следовательно MB=MC.

Таким образом, доказано, что MB=MC.

Для решения задачи используем свойства равнобедренного треугольника и свойства перпендикулярных прямых.

1. Поскольку AB = AC, треугольник ABC является равнобедренным с основанием BC.

2. Прямые, проведенные через B и C и перпендикулярные к AB и AC соответственно, образуют углы 90 градусов с этими сторонами. Обозначим эти прямые как l и m соответственно.

3. Точка M, являющаяся пересечением линий l и m, лежит на биссектрисе угла A, так как в равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является также медианой и высотой. Это следует из того, что биссектриса угла при вершине делит угол пополам, а медиана и высота в равнобедренном треугольнике совпадают при рассмотрении угла между равными сторонами.

4. Поскольку M лежит на биссектрисе угла A, она равноудалена от сторон угла, то есть от AB и AC. Таким образом, расстояния от M до прямых AB и AC равны.

5. Так как линии l и m перпендикулярны к линиям AB и AC и проходят через точки B и C соответственно, то MB и MC являются перпендикулярами к этим прямым. Поскольку M равноудалена от AB и AC, то MB = MC.

Таким образом, мы доказали, что MB = MC, используя свойства равнобедренного треугольника и перпендикуляров.