На сторонах угла А отмечены точки М и К так, что АМ = АК. Известно, что точка Р лежит внутри угла А и РК = РМ. Докажите, что АР биссектриса угла А.
На сторонах угла А отмечены точки М и К так, что АМ = АК. Известно, что точка Р лежит внутри угла А и РК = РМ. Докажите, что АР биссектриса угла А.
Для доказательства того, что отрезок AR является биссектрисой угла A, нужно показать, что угол MAR равен углу PAR.
Из условия задачи известно, что AM = AK и RK = RM. Таким образом, треугольник AMR является равнобедренным, а значит углы AMR и ARM равны.
Также из условия задачи известно, что RK = RM, следовательно треугольник KRM также является равнобедренным, и углы KRM и KMR равны.
Теперь проведем прямую PN, перпендикулярную стороне AK треугольника AKM и прямую PL, перпендикулярную стороне AM треугольника AKM. Таким образом, у нас получаются два прямоугольных треугольника PNA и PLA.
Поскольку у нас есть два равные угла в треугольниках AMR и KRM, то у нас также равны углы PAR и MAR.
Таким образом, мы доказали, что отрезок AR является биссектрисой угла A.
Рассмотрим угол ( \angle BAC ) с вершиной в точке ( A ). На сторонах угла ( AB ) и ( AC ) отмечены точки ( M ) и ( K ) соответственно, такие что ( AM = AK ). Точка ( P ) лежит внутри угла ( \angle BAC ) и удовлетворяет условию ( PK = PM ).
Необходимо доказать, что прямая ( AP ) является биссектрисой угла ( \angle BAC ).
Для доказательства воспользуемся свойствами равных треугольников и свойствами биссектрисы.
Рассмотрим треугольники ( \triangle AMP ) и ( \triangle AKP ).
В треугольниках ( \triangle AMP ) и ( \triangle AKP ) по трем равным сторонам (по первой теореме о равенстве треугольников ( SSS )) треугольники равны: [ \triangle AMP \cong \triangle AKP ]
Из равенства треугольников ( \triangle AMP ) и ( \triangle AKP ) следует, что углы при основании этих треугольников равны: [ \angle MAP = \angle KAP ]
Так как ( \angle MAP = \angle KAP ), то ( AP ) делит угол ( \angle BAC ) на два равных угла. По определению биссектрисы это означает, что ( AP ) является биссектрисой угла ( \angle BAC ).
Таким образом, мы доказали, что ( AP ) биссектриса угла ( \angle BAC ).
