На стороне ac прямоугольного треугольника abc с прямым углом c как на диаметре построена окружность...

Для начала найдем длину стороны bc. В прямоугольном треугольнике abc, применим теорему Пифагора:

ac^2 = ab^2 + bc^2 13^2 = 5^2 + bc^2 169 = 25 + bc^2 bc^2 = 144 bc = 12

Теперь, когда мы знаем длину стороны bc, можем вычислить площадь треугольника bck, используя формулу для площади треугольника через радиус описанной окружности:

S = abc / 2R

где S - площадь треугольника, abc - площадь треугольника, R - радиус описанной окружности. Площадь треугольника bck равна:

S = 1/2 bc ck = 1/2 12 5 = 30

Теперь, чтобы найти радиус описанной окружности, воспользуемся формулой:

R = abc / (2S)

R = 13 12 / (2 30) = 78 / 60 = 13/10 = 1.3

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника bck, равен 1.3.

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и окружности.

Дано:

• Прямоугольный треугольник ( \triangle ABC ) с прямым углом в точке ( C ).
• ( AC = 13 ).
• На стороне ( AC ) как на диаметре построена окружность, которая пересекает ( AB ) в точке ( K ).
• ( AK = 5 ).

Найти радиус окружности, описанной около треугольника ( \triangle BCK ).

Шаги решения:

1. Определим длину ( CK ): Поскольку ( AC ) является диаметром окружности, точка ( K ) принадлежит окружности, и ( \angle AKC = 90^\circ ) (угол, опирающийся на диаметр, равен ( 90^\circ )).

   Следовательно, ( \triangle AKC ) — прямоугольный треугольник. Используя теорему Пифагора, найдем ( CK ): [ CK = \sqrt{AC^2 - AK^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12. ]

2. Определим длину ( BK ): Чтобы найти ( BK ), применим теорему Пифагора к ( \triangle ABK ) (если ( B ) находится на окружности, ( \angle AKB = 90^\circ ), но это пока не проверено).

   Сначала определим длину ( AB ) в треугольнике ( \triangle ABC ): [ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}. ] Здесь известно только ( AC = 13 ), а ( BC ) не дано, но ( BK ) является хордой окружности, и мы можем применить свойства окружности.

3. Найти радиус описанной окружности (\triangle BCK): В любом треугольнике, радиус описанной окружности ( R ) можно найти через формулу: [ R = \frac{abc}{4S}, ] где ( a, b, c ) — стороны треугольника, а ( S ) — его площадь.

   Для (\triangle BCK), зная, что (\angle BCK = 90^\circ) (так как ( CK ) — высота, проведенная из прямого угла на гипотенузу ( BC )), радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: [ R = \frac{BC}{2}. ]

   Таким образом, чтобы завершить решение, необходимо знать ( BC ).

   Однако, без дополнительной информации о точке ( B ), уточнить ( BK ) и ( BC ) не представляется возможным из данных условия. Возможно, в условии недостаёт информации, или оно трактовано неправильно.

Таким образом, при условии, что ( B ) — на окружности, и ( \angle BCK = 90^\circ ), радиус ( R ) равен ( \frac{BC}{2} ), но для численного ответа требуется уточнить длину ( BC ).