На стороне AD квадрата ABCD взята точка E так, что AE:ED=1:4. Нужно найти тангенс угла AEC. Буду очень...

Для нахождения тангенса угла AEC нам нужно сначала вычислить значения углов в треугольнике AEC.

Поскольку AE:ED=1:4, то можно представить отрезок AE как x, а отрезок ED как 4x. Таким образом, длина отрезка AE равна 1/5 от длины стороны квадрата ABCD, а длина отрезка ED равна 4/5 от длины стороны квадрата.

Теперь обратимся к треугольнику AEC. Поскольку угол AEC является противоположным углу прямоугольного треугольника AED, который является прямым углом, то угол AEC также равен 90 градусов.

Теперь найдем длины сторон треугольника AEC. Известно, что сторона AE равна x, сторона EC равна стороне AD (поскольку это сторона квадрата), а сторона AC равна сумме сторон AE и EC. Таким образом, сторона AC равна x + 4x = 5x.

Теперь, чтобы найти тангенс угла AEC, мы можем воспользоваться теоремой тангенсов: tg(AEC) = противолежащий катет / прилежащий катет. В нашем случае противолежащий катет - это сторона AE (x), а прилежащий катет - это сторона EC (5x).

Таким образом, tg(AEC) = x / 5x = 1/5.

Ответ: тангенс угла AEC равен 1/5.

Рассмотрим квадрат (ABCD) с вершинами (A(0, 0)), (B(a, 0)), (C(a, a)) и (D(0, a)), где (a) — сторона квадрата. На стороне (AD) выберем точку (E) так, что (\frac{AE}{ED} = \frac{1}{4}).

Так как (AE + ED = AD = a), мы можем написать: [ AE = \frac{a}{5} ] [ ED = \frac{4a}{5} ]

Координаты точки (E) будут: [ E = \left(0, \frac{a}{5}\right) ]

Теперь нам нужно найти тангенс угла (AEC). Векторы (\overrightarrow{AE}) и (\overrightarrow{EC}) имеют координаты: [ \overrightarrow{AE} = E - A = \left(0, \frac{a}{5}\right) - (0, 0) = \left(0, \frac{a}{5}\right) ] [ \overrightarrow{EC} = C - E = (a, a) - \left(0, \frac{a}{5}\right) = \left(a, a - \frac{a}{5}\right) = \left(a, \frac{4a}{5}\right) ]

Теперь найдем тангенс угла между этими векторами. Для этого используем формулу для тангенса угла между двумя векторами: [ \tan \theta = \left| \frac{\overrightarrow{AE} \times \overrightarrow{EC}}{\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{EC}} \right| ]

Сначала найдем скалярное произведение (\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{EC}): [ \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{EC} = 0 \cdot a + \frac{a}{5} \cdot \frac{4a}{5} = \frac{4a^2}{25} ]

Теперь найдем векторное произведение (\overrightarrow{AE} \times \overrightarrow{EC}): [ \overrightarrow{AE} \times \overrightarrow{EC} = \left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 0 & \frac{a}{5} & 0 \ a & \frac{4a}{5} & 0 \end{matrix} \right| = \mathbf{k} \left(0 \cdot \frac{4a}{5} - \frac{a}{5} \cdot a \right) = \mathbf{k} \left(0 - \frac{a^2}{5} \right) = -\frac{a^2}{5} \mathbf{k} ]

Модуль векторного произведения: [ \left| \overrightarrow{AE} \times \overrightarrow{EC} \right| = \frac{a^2}{5} ]

Теперь можем найти тангенс угла (\theta): [ \tan \theta = \left| \frac{\frac{a^2}{5}}{\frac{4a^2}{25}} \right| = \left| \frac{\frac{a^2}{5}}{\frac{4a^2}{25}} \right| = \left| \frac{\frac{a^2}{5} \cdot 25}{4a^2} \right| = \left| \frac{25}{20} \right| = \left| \frac{5}{4} \right| = \frac{5}{4} ]

Таким образом, тангенс угла (AEC) равен: [ \boxed{\frac{5}{4}} ]