Наименьшая сторона треугольника равна 7 корней из 2 а два угла треугольника равны 105 и 45 градусов....

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Дано:

   • Наименьшая сторона (a = 7\sqrt{2}).
   • Два угла треугольника: ( \alpha = 105^\circ ) и ( \beta = 45^\circ ).

2. Найти:

   • Среднюю сторону треугольника (b) (предположим, что (b) будет средней стороной, а (c) - наибольшей).

3. Третий угол: Используем теорему о сумме углов треугольника: [ \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 105^\circ - 45^\circ = 30^\circ ]

4. Используем Закон синусов: [ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} ]

5. Найдем сторону (b): [ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} ]

   Подставим известные значения: [ \frac{7\sqrt{2}}{\sin 105^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ} ]

6. Вычислим синусы углов:

   • (\sin 105^\circ = \sin (180^\circ - 75^\circ) = \sin 75^\circ)
   • (\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ)
   • (\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2})
   • (\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2})
   • (\sin 30^\circ = \frac{1}{2})
   • (\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2})

   Подставим: [ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ]

   [ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

7. Подставим значения синусов в уравнение: [ \frac{7\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} ]

   Упростим выражение: [ \frac{7\sqrt{2} \cdot 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} ]

   [ \frac{28\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{2b}{\sqrt{2}} ]

   Умножим обе части уравнения на (\sqrt{2}): [ \frac{28 \cdot 2}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = 2b ]

   [ \frac{56}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = 2b ]

   Разделим обе части на 2: [ b = \frac{28}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} ]

8. Рационализируем знаменатель: [ b = \frac{28}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{28 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{28 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 7 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) ]

Итак, средняя сторона треугольника (b) равна (7(\sqrt{6} - \sqrt{2})).

Для нахождения средней стороны треугольника нужно воспользоваться теоремой косинусов. В данном случае можно воспользоваться формулой: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C), где c - искомая сторона, a и b - известные стороны, а C - угол между этими сторонами. Подставив известные значения, можно найти среднюю сторону треугольника.

Для нахождения средней стороны треугольника можно воспользоваться теоремой косинусов.

Пусть наименьшая сторона треугольника равна 7√2, а два угла треугольника равны 105° и 45°. Обозначим среднюю сторону как х.

Сначала найдем третий угол треугольника, используя то, что сумма углов треугольника равна 180°: 180° - 105° - 45° = 30°

Теперь можем применить теорему косинусов: cos(105°) = (7√2)^2 + x^2 - 2 7√2 x cos(30°) / 2 7√2 x cos(105°) = 98 + x^2 - 7√2 x √3 / 14√2 x cos(105°) = 98 + x^2 - 21 x / 28 x cos(105°) = 98 + x^2 - 21 x / 28 x cos(105°) = 98 + x^2 - 21 / 28

Теперь найдем значение cos(105°) и решим уравнение для х: cos(105°) ≈ -0.2588 98 + x^2 - 21 / 28 = -0.2588 x^2 - 21x + 28 * 0.2588 - 98 = 0 x^2 - 21x + 7.03 - 98 = 0 x^2 - 21x - 90.97 = 0

Решив это уравнение, найдем значение средней стороны треугольника.