Наименьшая сторона треугольника равна 7 корней из 2 а два угла треугольника равны 105 и 45 градусов....

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Дано:

   • Наименьшая сторона $a=7\sqrt{2}$.
   • Два угла треугольника: $\alpha ={105}^{\circ }$ и $\beta ={45}^{\circ }$.

2. Найти:

   • Среднюю сторону треугольника $b$ $предположим,что(b$ будет средней стороной, а $c$ - наибольшей).

3. Третий угол: Используем теорему о сумме углов треугольника: $\gamma ={180}^{\circ }-\alpha -\beta ={180}^{\circ }-{105}^{\circ }-{45}^{\circ }={30}^{\circ }$

4. Используем Закон синусов: $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$

5. Найдем сторону $b$: $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$

   Подставим известные значения: $\frac{7\sqrt{2}}{\sin {105}^{\circ }}=\frac{b}{\sin {45}^{\circ }}$

6. Вычислим синусы углов:

   • $\sin {105}^{\circ }=\sin ({180}^{\circ }-{75}^{\circ }$ = \sin 75^\circ)
   • $\sin {75}^{\circ }=\sin ({45}^{\circ }+{30}^{\circ }$ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ)
   • $\sin {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$
   • $\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$
   • $\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}$
   • $\cos {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$

   Подставим: $\sin {75}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

   $\sin {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$

7. Подставим значения синусов в уравнение: $\frac{7\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

   Упростим выражение: $\frac{7\sqrt{2}\cdot 4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

   $\frac{28\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{2b}{\sqrt{2}}$

   Умножим обе части уравнения на $\sqrt{2}$: $\frac{28\cdot 2}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=2b$

   $\frac{56}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=2b$

   Разделим обе части на 2: $b=\frac{28}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

8. Рационализируем знаменатель: $b=\frac{28}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\frac{28(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2}=\frac{28(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}=7(\sqrt{6}-\sqrt{2})$

Итак, средняя сторона треугольника $b$ равна $7(\sqrt{6}-\sqrt{2}$).

Для нахождения средней стороны треугольника нужно воспользоваться теоремой косинусов. В данном случае можно воспользоваться формулой: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos$C$, где c - искомая сторона, a и b - известные стороны, а C - угол между этими сторонами. Подставив известные значения, можно найти среднюю сторону треугольника.

Для нахождения средней стороны треугольника можно воспользоваться теоремой косинусов.

Пусть наименьшая сторона треугольника равна 7√2, а два угла треугольника равны 105° и 45°. Обозначим среднюю сторону как х.

Сначала найдем третий угол треугольника, используя то, что сумма углов треугольника равна 180°: 180° - 105° - 45° = 30°

Теперь можем применить теорему косинусов: cos$105°$ = $7\surd 2$^2 + x^2 - 2 7√2 x cos$30°$ / 2 7√2 x cos$105°$ = 98 + x^2 - 7√2 x √3 / 14√2 x cos$105°$ = 98 + x^2 - 21 x / 28 x cos$105°$ = 98 + x^2 - 21 x / 28 x cos$105°$ = 98 + x^2 - 21 / 28

Теперь найдем значение cos$105°$ и решим уравнение для х: cos$105°$ ≈ -0.2588 98 + x^2 - 21 / 28 = -0.2588 x^2 - 21x + 28 * 0.2588 - 98 = 0 x^2 - 21x + 7.03 - 98 = 0 x^2 - 21x - 90.97 = 0

Решив это уравнение, найдем значение средней стороны треугольника.