Найдите косинус угла между векторами а (2;-1;2) и b (-4;1;3)

Для нахождения косинуса угла между двумя векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) мы можем воспользоваться формулой косинуса угла между двумя векторами в пространстве. Эта формула выглядит следующим образом:

[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} ]

где:

• ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) — скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ),
• ( |\mathbf{a}| ) и ( |\mathbf{b}| ) — длины (модули) векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ),
• ( \theta ) — угол между векторами.

Шаг 1: Найдем скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ). Векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) заданы как ( \mathbf{a} = (2, -1, 2) ) и ( \mathbf{b} = (-4, 1, 3) ).

Скалярное произведение двух векторов ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) вычисляется по формуле: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z ]

Подставим значения компонент векторов: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot (-4) + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 3 ] [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -8 - 1 + 6 ] [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -3 ]

Шаг 2: Найдем длины векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).

Длина вектора ( \mathbf{a} = (2, -1, 2) ) вычисляется по формуле: [ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} ] [ |\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} ] [ |\mathbf{a}| = \sqrt{4 + 1 + 4} ] [ |\mathbf{a}| = \sqrt{9} ] [ |\mathbf{a}| = 3 ]

Длина вектора ( \mathbf{b} = (-4, 1, 3) ) вычисляется аналогично: [ |\mathbf{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2} ] [ |\mathbf{b}| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + 3^2} ] [ |\mathbf{b}| = \sqrt{16 + 1 + 9} ] [ |\mathbf{b}| = \sqrt{26} ] [ |\mathbf{b}| = \sqrt{26} ]

Шаг 3: Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла между векторами: [ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} ] [ \cos \theta = \frac{-3}{3 \cdot \sqrt{26}} ] [ \cos \theta = \frac{-3}{3\sqrt{26}} ] [ \cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{26}} ]

Таким образом, косинус угла между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равен ( \frac{-1}{\sqrt{26}} ).

Для нахождения косинуса угла между двумя векторами необходимо воспользоваться формулой скалярного произведения векторов.

Сначала найдем скалярное произведение векторов a и b: a • b = 2(-4) + (-1)1 + 2*3 = -8 - 1 + 6 = -3

Затем найдем длины векторов a и b: |a| = √(2^2 + (-1)^2 + 2^2) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3 |b| = √((-4)^2 + 1^2 + 3^2) = √(16 + 1 + 9) = √26

И наконец, вычислим косинус угла между векторами a и b по формуле: cos(θ) = (a • b) / (|a| |b|) = -3 / (3 √26) = -1 / √26

Таким образом, косинус угла между векторами a и b равен -1 / √26.