Найдите меньшую высоту равнобедренного прямоугольного треугольника со стороной 12 (будем считать что...

Чтобы найти меньшую высоту равнобедренного прямоугольного треугольника, у которого боковая сторона равна 12, начнем с разбора параметров данного треугольника.

1. Определение треугольника: В равнобедренном прямоугольном треугольнике два угла равны (по 45 градусов), а третий угол является прямым (90 градусов). Обозначим равные стороны как ( a ) (катеты), а боковую сторону, которая равна 12, как ( c ) (гипотенуза).

2. Связь сторон в прямоугольном треугольнике: В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора: [ c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 ] Подставим значение гипотенузы: [ 12^2 = 2a^2 ] [ 144 = 2a^2 ] [ a^2 = \frac{144}{2} = 72 ] [ a = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} ]

3. Определение высоты: Высота ( h ) равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла на гипотенузу, может быть найдена по формуле: [ h = \frac{a \cdot b}{c} ] В нашем случае ( a = b = 6\sqrt{2} ) и ( c = 12 ): [ h = \frac{(6\sqrt{2}) \cdot (6\sqrt{2})}{12} ] [ h = \frac{72}{12} = 6 ]

4. Проверка: Теперь проверим, является ли это значение высоты наименьшим. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла, всегда будет меньше или равна высоте, проведенной из вершины, соответствующей боковой стороне, так как высота делит треугольник на два меньших равнобедренных треугольника.

Таким образом, меньшая высота равнобедренного прямоугольного треугольника со стороной 12 равна 6.

Давайте решим задачу подробно.

Условие:

У нас есть равнобедренный прямоугольный треугольник. Дано, что его боковая сторона равна (12). Необходимо найти меньшую высоту этого треугольника.

Решение:

1. Понять свойства треугольника:

   • В равнобедренном прямоугольном треугольнике два катета равны, а угол между ними прямой ((90^\circ)).
   • Гипотенуза тогда будет равна (\sqrt{2}) длины катета (по теореме Пифагора).
   • У треугольника есть три высоты, проведённые из каждой вершины к противоположной стороне. Нам нужно найти меньшую из них, которая будет перпендикулярна гипотенузе.

2. Обозначим катет треугольника: Пусть длина катета равна (12) (это боковая сторона). Тогда: [ \text{Гипотенуза} = 12\sqrt{2}. ]

3. Найти площадь треугольника: Площадь треугольника можно найти по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2. ] Подставляем значения: [ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72. ]

4. Высоты в треугольнике: Высота — это перпендикуляр, проведённый из вершины к противоположной стороне. Рассмотрим все три высоты:

   • Высота, опущенная на гипотенузу ((h_{\text{гип}})).
   • Высота, опущенная на один катет ((h_{\text{кат}_1})).
   • Высота, опущенная на другой катет ((h_{\text{кат}_2})).

   Высоты, опущенные на катеты, равны друг другу (так как катеты одинаковой длины).

5. Найти высоту, опущенную на гипотенузу ((h{\text{гип}})): Площадь треугольника также можно выразить через гипотенузу и высоту, проведённую к ней: [ S = \frac{1}{2} \cdot \text{гипотенуза} \cdot h{\text{гип}}. ] Подставляем: [ 72 = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{2} \cdot h{\text{гип}}. ] Умножим обе стороны на (2): [ 144 = 12\sqrt{2} \cdot h{\text{гип}}. ] Разделим на (12\sqrt{2}): [ h_{\text{гип}} = \frac{144}{12\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}. ]

6. Найти высоты, опущенные на катеты ((h_{\text{кат}})): Высота, опущенная на катет, равна другой боковой стороне (равна катету). Это следствие того, что высоты на катет и гипотенузу равны.

Для нахождения меньшей высоты равнобедренного прямоугольного треугольника с боковой стороной 12, сначала определим его основания и высоту.

Обозначим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC = 12 (боковые стороны), а угол A = 90°.

Сначала находим длину основания BC. Поскольку треугольник равнобедренный и прямоугольный, можно использовать теорему Пифагора для нахождения длины BC:

( c^2 = a^2 + b^2 )

где ( c ) — гипотенуза, а ( a ) и ( b ) — катеты. В данном случае:

1. Ведем обозначения:

   • ( AB = AC = 12 )
   • Пусть ( BC = x )

2. Из теоремы Пифагора: [ 12^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + h^2 ] где ( h ) — высота, опущенная из вершины A на основание BC. Поскольку треугольник равнобедренный, высота делит основание пополам.

3. Используем соотношение для вычисления: [ 144 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + h^2 ]

4. Высота ( h ) также может быть выражена через основание ( x ): [ h = \sqrt{12^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2} ]

Теперь найдем ( x ). Для минимизации высоты, основание должно быть максимальным, что происходит, когда высота равна нулю, но это не имеет смысла в контексте. Поэтому решим уравнение для нахождения высоты при фиксированном основании.

В случае, если использовать равные стороны как боковые, минимальная высота будет, когда основание становится минимальным при заданных боковых сторонах.

1. Находим ( h ) для ( x = 12 ) (основание равно боковым сторонам): [ h = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \approx 10.39 ]

2. Таким образом, минимальная высота равнобедренного прямоугольного треугольника с боковой стороной 12 будет при основании ( BC = 12 ) равна ( 6\sqrt{3} ).

Ответ: минимальная высота ( h = 6\sqrt{3} \approx 10.39 ).