Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро...

Для расчета объема правильной четырехугольной пирамиды сначала найдем высоту пирамиды. Так как боковое ребро равно 2 корня из 11, то можно построить прямоугольный треугольник, в котором одна из катетов равна 2, а гипотенуза равна 2 корня из 11. По теореме Пифагора найдем второй катет: (a^2 + b^2 = c^2), (2^2 + b^2 = (2\sqrt{11})^2), (4 + b^2 = 44), (b^2 = 40), (b = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}).

Теперь найдем высоту пирамиды, которая равна второму катету прямоугольного треугольника. Обычно высоту обозначают буквой h, поэтому h = 2√10.

Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды равна стороне в квадрате: (S_{\text{осн}} = 4^2 = 16).

Теперь можем найти объем пирамиды по формуле: (V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h), (V = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 2\sqrt{10}), (V = \frac{32\sqrt{10}}{3}).

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен ( \frac{32\sqrt{10}}{3} ).

Для нахождения объема правильной четырёхугольной пирамиды, необходимо сначала найти её высоту. Правильная четырёхугольная пирамида имеет в основании квадрат, а её боковые грани - равнобедренные треугольники.

1. Найдём диагональ основания: Основание пирамиды - квадрат со стороной 4. Диагональ этого квадрата делится на два равных отрезка, образуя два прямоугольных треугольника.

   Длина диагонали квадрата (d) находится по формуле: [ d = a \sqrt{2} ] где (a) - сторона квадрата. В нашем случае: [ d = 4 \sqrt{2} ]

2. Определим длину половины диагонали основания: Поскольку диагональ делится пополам в центре квадрата, её половина равна: [ \frac{d}{2} = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2} ]

3. Используем теорему Пифагора для нахождения высоты пирамиды: В пирамиде образуется прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна боковому ребру пирамиды (2\sqrt{11}), одна из катетов равен половине диагонали основания (2\sqrt{2}), а другой катет - это высота пирамиды (h).

   Используя теорему Пифагора, получаем: [ (2\sqrt{11})^2 = (2\sqrt{2})^2 + h^2 ] [ 4 \cdот 11 = 4 \cdот 2 + h^2 ] [ 44 = 8 + h^2 ] [ h^2 = 44 - 8 ] [ h^2 = 36 ] [ h = \sqrt{36} = 6 ]

4. Найдём объём пирамиды: Объём пирамиды рассчитывается по формуле: [ V = \frac{1}{3} S{\text{осн}} \cdot h ] где (S{\text{осн}}) - площадь основания, а (h) - высота пирамиды.

   Площадь основания квадрата со стороной 4 равна: [ S_{\text{осн}} = 4 \cdot 4 = 16 ]

   Подставляя значения в формулу для объёма, получаем: [ V = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 6 ] [ V = \frac{1}{3} \cdot 96 ] [ V = 32 ]

Таким образом, объём правильной четырёхугольной пирамиды с указанными параметрами равен (32) кубических единиц.

Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен 32/3.