Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро...

Для расчета объема правильной четырехугольной пирамиды сначала найдем высоту пирамиды. Так как боковое ребро равно 2 корня из 11, то можно построить прямоугольный треугольник, в котором одна из катетов равна 2, а гипотенуза равна 2 корня из 11. По теореме Пифагора найдем второй катет: $a^2+b^2=c^2$, $2^2+b^2=(2\sqrt{11}$^2), $4+b^2=44$, $b^2=40$, $b=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$.

Теперь найдем высоту пирамиды, которая равна второму катету прямоугольного треугольника. Обычно высоту обозначают буквой h, поэтому h = 2√10.

Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды равна стороне в квадрате: $S_{\text{осн}}=4^2=16$.

Теперь можем найти объем пирамиды по формуле: $V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h$, $V=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 2\sqrt{10}$, $V=\frac{32\sqrt{10}}{3}$.

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен $\frac{32\sqrt{10}}{3}$.

Для нахождения объема правильной четырёхугольной пирамиды, необходимо сначала найти её высоту. Правильная четырёхугольная пирамида имеет в основании квадрат, а её боковые грани - равнобедренные треугольники.

1. Найдём диагональ основания: Основание пирамиды - квадрат со стороной 4. Диагональ этого квадрата делится на два равных отрезка, образуя два прямоугольных треугольника.

   Длина диагонали квадрата $d$ находится по формуле: $d=a\sqrt{2}$ где $a$ - сторона квадрата. В нашем случае: $d=4\sqrt{2}$

2. Определим длину половины диагонали основания: Поскольку диагональ делится пополам в центре квадрата, её половина равна: $\frac{d}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

3. Используем теорему Пифагора для нахождения высоты пирамиды: В пирамиде образуется прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна боковому ребру пирамиды $2\sqrt{11}$, одна из катетов равен половине диагонали основания $2\sqrt{2}$, а другой катет - это высота пирамиды $h$.

   Используя теорему Пифагора, получаем: $(2\sqrt{11}{)}^2=(2\sqrt{2}{)}^2+h^2$ $4\text{cd}от11=4\text{cd}от2+h^2$ $44=8+h^2$ $h^2=44-8$ $h^2=36$ $h=\sqrt{36}=6$

4. Найдём объём пирамиды: Объём пирамиды рассчитывается по формуле: [ V = \frac{1}{3} S{\text{осн}} \cdot h ] где (S{\text{осн}}) - площадь основания, а $h$ - высота пирамиды.

   Площадь основания квадрата со стороной 4 равна: $S_{\text{осн}}=4\cdot 4=16$

   Подставляя значения в формулу для объёма, получаем: $V=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 6$ $V=\frac{1}{3}\cdot 96$ $V=32$

Таким образом, объём правильной четырёхугольной пирамиды с указанными параметрами равен $32$ кубических единиц.

Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен 32/3.