найдите острые углы прямоугольного треугольника если гипотенуза и один из катетов равены 8 и 4 корня из 3.
найдите острые углы прямоугольного треугольника если гипотенуза и один из катетов равены 8 и 4 корня из 3.
Для нахождения острых углов прямоугольного треугольника, когда известны длины гипотенузы и одного из катетов, можно использовать тригонометрические функции. Давайте обозначим длины сторон треугольника следующим образом:
Обозначим неизвестный катет через ( b ). Так как треугольник прямоугольный, по теореме Пифагора имеем: [ a^2 + b^2 = c^2 ]
Подставим известные значения: [ (4\sqrt{3})^2 + b^2 = 8^2 ] [ 48 + b^2 = 64 ]
Вычислим ( b^2 ): [ b^2 = 64 - 48 ] [ b^2 = 16 ]
Найдем ( b ): [ b = \sqrt{16} ] [ b = 4 ]
Теперь у нас есть все стороны треугольника: ( a = 4\sqrt{3} ), ( b = 4 ), ( c = 8 ).
Для нахождения углов воспользуемся тригонометрическими функциями. Обозначим углы напротив катетов ( a ) и ( b ) как ( \alpha ) и ( \beta ) соответственно.
Для угла ( \alpha ): [ \sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} ]
Так как ( \sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} ), то: [ \alpha = 60^\circ ]
Для угла ( \beta ): [ \cos(\alpha) = \frac{b}{c} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} ]
Так как ( \cos(\alpha) = \frac{1}{2} ), то: [ \alpha = 60^\circ ]
Теперь найдем угол ( \beta ): [ \beta = 90^\circ - \alpha ] [ \beta = 90^\circ - 60^\circ ] [ \beta = 30^\circ ]
Таким образом, острые углы прямоугольного треугольника равны ( 60^\circ ) и ( 30^\circ ).
Чтобы найти острые углы прямоугольного треугольника, используем тригонометрические соотношения. Пусть углы обозначены как α, β и γ, где α и β - острые углы, а γ - прямой угол.
Известно, что гипотенуза равна 8, а один из катетов равен 4√3. По теореме Пифагора имеем: (4√3)^2 + катет^2 = гипотенуза^2 12 + 16 = 64 28 = 64 Следовательно, в заданном треугольнике выполнено соотношение сторон.
Теперь, чтобы найти острые углы α и β, используем тригонометрические функции. Рассмотрим соотношение между сторонами и углами: sin(α) = противолежащий катет / гипотенуза cos(α) = прилегающий катет / гипотенуза tan(α) = противолежащий катет / прилегающий катет
Для угла α: sin(α) = (4√3) / 8 = √3 / 2 α = arcsin(√3 / 2) = π/3
Для угла β: cos(β) = (4) / 8 = 1 / 2 β = arccos(1 / 2) = π/3
Таким образом, острые углы прямоугольного треугольника, заданного гипотенузой 8 и катетом 4√3, равны π/3.
