Найдите периметр прямоугольника АВСД если биссектриса угла А делит сторону: ДС на отрезки 2,7дм и 4,5дм
Найдите периметр прямоугольника АВСД если биссектриса угла А делит сторону: ДС на отрезки 2,7дм и 4,5дм
Для нахождения периметра прямоугольника ABCD, где биссектрисa угла A делит сторону DC на отрезки длиной 2,7 дм и 4,5 дм, сначала определим длины сторон прямоугольника.
Обозначим:
Пусть точка E — это точка пересечения биссектрисы угла A с отрезком DC. По условию, отрезок DE равен 2,7 дм, а отрезок EC равен 4,5 дм. Таким образом, длина стороны DC равна: [ DE + EC = 2,7 \, \text{дм} + 4,5 \, \text{дм} = 7,2 \, \text{дм}. ] Следовательно, длина стороны ( a ) (DC) равна 7,2 дм.
Теперь применим теорему о биссектрисе. Согласно этой теореме, если биссектрисa делит сторону на два отрезка, то отношение этих отрезков равно отношению прилежащих сторон. То есть: [ \frac{DE}{EC} = \frac{AB}{AD}. ] Подставим известные значения: [ \frac{2,7}{4,5} = \frac{a}{b}. ] Упростим дробь ( \frac{2,7}{4,5} ): [ \frac{2,7}{4,5} = \frac{27}{45} = \frac{3}{5}. ] Таким образом, имеем: [ \frac{3}{5} = \frac{a}{b} \implies 3b = 5a \implies b = \frac{5}{3}a. ]
Теперь мы знаем, что:
Вычислим ( b ): [ b = \frac{5}{3} \cdot 7,2 = \frac{5 \cdot 7,2}{3} = \frac{36}{3} = 12 \, \text{дм}. ]
Теперь, зная длины сторон ( a ) и ( b ), можем найти периметр прямоугольника. Периметр ( P ) прямоугольника вычисляется по формуле: [ P = 2(a + b). ] Подставим найденные значения: [ P = 2(7,2 + 12) = 2 \cdot 19,2 = 38,4 \, \text{дм}. ]
Таким образом, периметр прямоугольника ABCD равен ( 38,4 \, \text{дм} ).
Чтобы найти периметр прямоугольника (ABCD), начнем с анализа задачи.
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В данном случае биссектриса угла (A) делит сторону (CD) на два отрезка (2.7 \, \text{дм}) и (4.5 \, \text{дм}). Это означает, что стороны (AD) и (AB) прямоугольника пропорциональны этим отрезкам.
Обозначим (AD = a) (высота прямоугольника) и (AB = b) (основание прямоугольника). Тогда по свойству биссектрисы: [ \frac{AD}{AB} = \frac{2.7}{4.5}. ]
Упростим дробь: [ \frac{2.7}{4.5} = \frac{3}{5}. ]
Следовательно, стороны (AD) и (AB) относятся как (3:5), то есть: [ AD : AB = 3 : 5. ]
Пусть (AD = 3x), а (AB = 5x), где (x) — общий множитель пропорции.
Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому (AB = CD) и (AD = BC). Таким образом, сторона (CD) (сумма отрезков) равна длине основания (AB): [ AB = CD = 2.7 + 4.5 = 7.2 \, \text{дм}. ]
Подставим в выражение для (AB): [ 5x = 7.2. ]
Найдем (x): [ x = \frac{7.2}{5} = 1.44. ]
Теперь вычислим (AD = 3x): [ AD = 3 \cdot 1.44 = 4.32 \, \text{дм}. ]
Периметр прямоугольника (P) выражается формулой: [ P = 2 \cdot (AB + AD). ]
Подставим значения (AB = 7.2 \, \text{дм}) и (AD = 4.32 \, \text{дм}): [ P = 2 \cdot (7.2 + 4.32) = 2 \cdot 11.52 = 23.04 \, \text{дм}. ]
Периметр прямоугольника равен (23.04 \, \text{дм}).
Для нахождения периметра прямоугольника ABCD, где биссектрисa угла A делит сторону DC на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм, используем теорему о биссектрисе.
Согласно этой теореме, отношение отрезков, на которые делит биссектрисa основание, равно отношению смежных сторон:
[ \frac{AB}{AD} = \frac{2,7}{4,5} = \frac{3}{5} ]
Обозначим стороны AB и AD как 3x и 5x соответственно.
Теперь найдем периметр P:
[ P = 2(AB + AD) = 2(3x + 5x) = 2(8x) = 16x ]
Чтобы найти x, можем использовать сумму отрезков:
[ 2,7 + 4,5 = 7,2 ]
Зная, что сторона DC равна 7,2 дм, мы можем приравнять:
[ AB + AD = 7,2 ]
Подставим значения:
[ 3x + 5x = 7,2 \implies 8x = 7,2 \implies x = 0,9 ]
Теперь подставим x в формулу периметра:
[ P = 16x = 16 \cdot 0,9 = 14,4 \text{ дм} ]
Таким образом, периметр прямоугольника ABCD равен 14,4 дм.
