Найдите площадь равнобедренного треугольника, вписанного в окружность, в котором боковая сторона равна...

Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника, вписанного в окружность, с известной боковой стороной и радиусом описанной окружности, можно воспользоваться несколькими шагами. В данном случае боковая сторона равна ( 4\sqrt{5} ) см, а радиус описанной окружности ( R = 5 ) см.

1. Определение типа треугольника:

   • Поскольку треугольник равнобедренный и вписан в окружность, его центральный угол, соответствующий основанию, равен удвоенному углу при вершине. Обозначим угол при вершине через ( \theta ).

2. Использование тригонометрии:

   • Стороны треугольника и радиус описанной окружности связаны формулой: [ a = 2R \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) ] где ( a ) — это боковая сторона треугольника. Подставим известные значения: [ 4\sqrt{5} = 2 \times 5 \times \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) ] [ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{4\sqrt{5}}{10} = \frac{2\sqrt{5}}{5} ]

3. Найти основание треугольника:

   • Используя синус угла (\frac{\theta}{2}), найдём косинус этого же угла: [ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{1 - \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)} = \sqrt{1 - \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{20}{25}} = \sqrt{\frac{5}{25}} = \frac{1}{\sqrt{5}} ]
   • Теперь найдём основание ( b ) треугольника: [ b = 2R \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = 2 \times 5 \times \frac{1}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} ]

4. Вычисление площади треугольника:

   • Площадь ( S ) равнобедренного треугольника может быть найдена через формулу: [ S = \frac{1}{2} \times b \times h ] где ( h ) — высота, проведенная к основанию. Высоту можно найти по формуле: [ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{(4\sqrt{5})^2 - \left(\frac{2\sqrt{5}}{2}\right)^2} = \sqrt{80 - 5} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} ]
   • Следовательно, площадь: [ S = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{5} \times 5\sqrt{3} = 5\sqrt{15} ]

Таким образом, площадь равнобедренного треугольника составляет ( 5\sqrt{15} ) квадратных сантиметров.

Для начала найдем высоту равнобедренного треугольника, проведя ее из вершины, перпендикулярно к основанию. Так как треугольник равнобедренный, то высота будет также являться медианой и биссектрисой.

Пусть высота треугольника равна h. Тогда соединим вершину треугольника с серединой основания, получим два прямоугольных треугольника. В одном из них гипотенуза равна 4√5 (боковая сторона треугольника), а один из катетов равен h. Также известно, что радиус окружности (медиана и биссектриса) равен 5. Таким образом, по теореме Пифагора, получаем:

(4√5)^2 = h^2 + 5^2 => 80 = h^2 + 25 => h^2 = 55 => h = √55

Теперь можем найти площадь равнобедренного треугольника, используя формулу для площади треугольника: S = 0.5 основание высоту.

Площадь равнобедренного треугольника равна: S = 0.5 4√5 √55 S = 2√5 √55 S = 2√(5 55) S = 2√275 S = 2 * 5√11 S = 10√11

Таким образом, площадь равнобедренного треугольника, вписанного в окружность с боковой стороной 4√5 и радиусом 5 см, равна 10√11 квадратных см.