Найдите sin a и cos a если tg a = 1/2

sin a = 1 / √5, cos a = 2 / √5

Чтобы найти значения (\sin a) и (\cos a) при заданном (\tan a = \frac{1}{2}), можно воспользоваться основными тригонометрическими соотношениями.

1. Связь между синусом, косинусом и тангенсом:

   Мы знаем, что (\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}). Из условия задачи (\tan a = \frac{1}{2}), следовательно: [ \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{1}{2} ] Это уравнение можно переписать как: [ \sin a = \frac{1}{2} \cos a ]

2. Основное тригонометрическое тождество:

   Также известно, что: [ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ]

3. Подстановка и решение:

   Подставим выражение для (\sin a) в основное тригонометрическое тождество: [ \left(\frac{1}{2} \cos a\right)^2 + \cos^2 a = 1 ] Это упрощается до: [ \frac{1}{4} \cos^2 a + \cos^2 a = 1 ] [ \frac{5}{4} \cos^2 a = 1 ] [ \cos^2 a = \frac{4}{5} ] [ \cos a = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5} ]

4. Нахождение (\sin a):

   Используя (\sin a = \frac{1}{2} \cos a), найдём (\sin a): [ \sin a = \frac{1}{2} \times \pm \frac{2\sqrt{5}}{5} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} ]

5. Выбор знаков:

   Знак (\sin a) и (\cos a) зависит от квадранта, в котором находится угол (a). Поскольку задача не уточняет, в каком диапазоне находится угол, решения будут:

   • Если (\cos a = \frac{2\sqrt{5}}{5}), то (\sin a = \frac{\sqrt{5}}{5}).
   • Если (\cos a = -\frac{2\sqrt{5}}{5}), то (\sin a = -\frac{\sqrt{5}}{5}).

Таким образом, возможные пары значений ((\sin a, \cos a)) равны (\left(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5}\right)) и (\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}, -\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)).

Дано, что tg(a) = 1/2. Так как tg(a) = sin(a) / cos(a), то мы можем выразить sin(a) и cos(a) через tg(a):

tg(a) = sin(a) / cos(a) 1/2 = sin(a) / cos(a)

Отсюда получаем, что sin(a) = 1 и cos(a) = 2.

Таким образом, sin(a) = 1, а cos(a) = 2.