Найдите tg a, если cos a = 1/3

Для того чтобы найти tg a, сначала нужно найти sin a. Мы знаем, что cos a = 1/3. Так как sin^2 a + cos^2 a = 1, то sin^2 a = 1 - cos^2 a = 1 - (1/3)^2 = 1 - 1/9 = 8/9. Таким образом, sin a = √(8/9) = √8/3.

Теперь мы можем найти tg a, используя определение тангенса как отношение синуса к косинусу: tg a = sin a / cos a = (√8/3) / (1/3) = √8.

Таким образом, tg a = √8.

Чтобы найти (\tan a), зная (\cos a = \frac{1}{3}), можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством и определением тангенса.

Основное тригонометрическое тождество гласит:

[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ]

Подставим в него известное значение (\cos a):

[ \sin^2 a + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 ]

[ \sin^2 a + \frac{1}{9} = 1 ]

[ \sin^2 a = 1 - \frac{1}{9} ]

[ \sin^2 a = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} ]

Теперь найдём (\sin a):

[ \sin a = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{\sqrt{8}}{3} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} ]

Определение тангенса:

[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} ]

Подставим найденные значения:

[ \tan a = \frac{\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = \pm 2\sqrt{2} ]

Таким образом, (\tan a = 2\sqrt{2}) или (\tan a = -2\sqrt{2}), в зависимости от квадранта, в котором находится угол (a). Если (\cos a = \frac{1}{3}) положителен, то угол (a) может находиться в первом или четвертом квадранте. В первом квадранте (\sin a) также положителен, а в четвертом — отрицателен. Это означает, что (\tan a = 2\sqrt{2}) в первом квадранте и (\tan a = -2\sqrt{2}) в четвертом квадранте.