Найдите величину двугранного угла при основании правильной четырёхугольной пирамиды, если её боковые...

Величина двугранного угла при основании правильной четырёхугольной пирамиды равна 120 градусам.

Для нахождения величины двугранного угла при основании правильной четырёхугольной пирамиды, у которой боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом 60 градусов, нужно воспользоваться тригонометрическими соотношениями.

Пусть ( \alpha ) - угол между основанием и боковой гранью, тогда синус этого угла равен отношению половины длины бокового ребра к высоте пирамиды: ( \sin(\alpha) = \frac{1}{2} ).

Также известно, что угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60 градусам, следовательно, ( \beta = 60 ) градусов.

Из построения пирамиды видно, что ( \alpha + 60 + \alpha = 180 ) градусов, откуда ( \alpha = \frac{180 - 60}{2} = 60 ) градусов.

Таким образом, величина двугранного угла при основании правильной четырёхугольной пирамиды равна 60 градусов.

Чтобы найти величину двугранного угла при основании правильной четырёхугольной пирамиды, где боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом 60°, следует рассмотреть геометрическую структуру пирамиды и воспользоваться тригонометрическими соотношениями.

1. Обозначения и начальные условия:

   • Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с основанием ABCD и вершиной S.
   • Боковые рёбра SA, SB, SC и SD наклонены к плоскости основания на 60°.
   • Пусть O — центр основания ABCD, который также является точкой пересечения диагоналей квадрата.

2. Рассмотрение сечения:

   • Рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через вершину S и диагональ AC (или BD, поскольку пирамида симметрична). Это сечение — равнобедренный треугольник SAC.
   • Поскольку SA и SC наклонены к плоскости основания под углом 60°, высота SO треугольника SOB (перпендикуляр из S на плоскость основания) образует угол 60° с боковыми рёбрами SA и SC.

3. Нахождение SO:

   • Пусть a — сторона квадрата ABCD.
   • Диагональ AC равна ( a\sqrt{2} ).
   • Треугольник SAC равнобедренный с основанием AC и боковыми сторонами SA и SC.
   • Проведём высоту SO из вершины S на плоскость основания, SO будет медианой и высотой в треугольнике SAC.
   • Из условия задачи, угол между боковыми рёбрами и высотой SO равен 60°: (\angle SAO = 60^\circ).

4. Вычисление высоты SO:

   • (\cos(60^\circ) = \frac{SO}{SA}).
   • Поскольку (\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}), то (\frac{SO}{SA} = \frac{1}{2}).
   • Таким образом, (SO = \frac{1}{2}SA).

5. Нахождение двугранного угла:

   • Двугранный угол — это угол между плоскостью основания и плоскостью боковой грани, например, плоскостью SAC.
   • В треугольнике SOA угол между SO и OA (половина диагонали основания) является двугранным углом.
   • OA = (\frac{a\sqrt{2}}{2}).
   • (\tan \phi = \frac{SO}{OA} = \frac{1/2 \cdot SA}{a\sqrt{2}/2} = \frac{SA}{a\sqrt{2}}).

Так как (\tan \phi = \frac{SA}{a\sqrt{2}}), и поскольку (\angle SAO = 60^\circ), вы можете выразить SA через a, зная, что (\tan \phi = \sqrt{3}), отсюда (\phi = 45^\circ).

Таким образом, величина двугранного угла при основании правильной четырёхугольной пирамиды равна 45°.