Найдите высоту равностороннего треугольника, зная, что радиус окружности, описанной около него равен...

Высота равностороннего треугольника равна 12 см.

Высота равностороннего треугольника равна половине длины радиуса окружности, описанной около него. Таким образом, высота треугольника равна 4 см.

Чтобы найти высоту равностороннего треугольника, зная радиус описанной окружности, воспользуемся известными свойствами равностороннего треугольника и его отношения к окружности.

Рассмотрим равносторонний треугольник (\Delta ABC) с длиной стороны (a). Для равностороннего треугольника радиус (R) окружности, описанной вокруг него, связан с длиной стороны (a) следующим образом:

[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} ]

Нам дан радиус (R = 8 \text{ см}). Подставим это значение в формулу:

[ 8 = \frac{a}{\sqrt{3}} ]

Теперь найдем длину стороны (a):

[ a = 8 \sqrt{3} ]

Следующим шагом будем искать высоту равностороннего треугольника. Высота (h) в равностороннем треугольнике делит его на два прямоугольных треугольника, где высота является одним из катетов, а половина стороны (a) — вторым катетом. Гипотенуза в этом прямоугольном треугольнике равна стороне равностороннего треугольника (a).

Высота (h) равностороннего треугольника выражается через сторону (a) так:

[ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} ]

Теперь подставим (a = 8 \sqrt{3}) в формулу для высоты:

[ h = \frac{8 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} ]

Упростим выражение:

[ h = \frac{8 \cdot 3}{2} ] [ h = \frac{24}{2} ] [ h = 12 ]

Таким образом, высота равностороннего треугольника, радиус описанной окружности которого равен 8 см, составляет 12 см.