Найдите значение tg a если известно что cos a=-1/3

Для нахождения значения тангенса угла ( a ), если известен косинус этого угла (\cos a = -\frac{1}{3}), нужно использовать основные тригонометрические соотношения.

Первое, что нам нужно вспомнить, это основное тригонометрическое тождество:

[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ]

Подставим известное значение косинуса в это уравнение:

[ \sin^2 a + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 ]

Упростим выражение:

[ \sin^2 a + \frac{1}{9} = 1 ]

Вычтем (\frac{1}{9}) из обеих частей уравнения:

[ \sin^2 a = 1 - \frac{1}{9} ]

Приведём к общему знаменателю:

[ \sin^2 a = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} ]

Теперь найдём (\sin a):

[ \sin a = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{\sqrt{8}}{3} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} ]

Знак синуса зависит от квадранта, в котором находится угол ( a ). Поскольку (\cos a = -\frac{1}{3}), угол ( a ) находится либо во втором, либо в третьем квадранте, где косинус отрицателен. В этих квадрантах синус имеет разные знаки:

• Во втором квадранте (\sin a > 0)
• В третьем квадранте (\sin a < 0)

Теперь найдем значение тангенса, используя определение тангенса:

[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} ]

Подставим значения:

[ \tan a = \frac{\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{1}{3}} ]

Сократим дроби:

[ \tan a = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \left(-3\right) ]

[ \tan a = \pm (-2\sqrt{2}) = \mp 2\sqrt{2} ]

Таким образом, значение тангенса угла ( a ) может быть ( -2\sqrt{2} ) или ( 2\sqrt{2} ) в зависимости от того, в каком квадранте находится угол ( a ).

• Во втором квадранте (\tan a = -2\sqrt{2})
• В третьем квадранте (\tan a = 2\sqrt{2})

Без дополнительной информации о конкретном квадранте, в котором находится угол ( a ), мы не можем однозначно определить знак значения тангенса.

Для нахождения значения тангенса угла ( a ) по заданному значению косинуса, можно воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Известно, что косинус угла ( a ) равен ( -\frac{1}{3} ). Тогда можно воспользоваться тождеством для тангенса через косинус: [ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} ]

Для начала найдем синус угла ( a ) через тождество Пифагора: [ \sin^2 a = 1 - \cos^2 a ] [ \sin^2 a = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 ] [ \sin^2 a = 1 - \frac{1}{9} ] [ \sin^2 a = \frac{8}{9} ] [ \sin a = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3} ]

Теперь можем найти тангенс угла ( a ): [ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{1}{3}} = \mp2\sqrt{2} ]

Таким образом, значение тангенса угла ( a ) равно ( \mp2\sqrt{2} ), где знак может быть как плюс, так и минус, в зависимости от четверти, в которой находится угол ( a ).