Найти длину хорды, на которую угол опирается 45 градусов

Длина хорды, на которую опирается угол в 45 градусов в окружности радиуса ( R ), равна ( L = R \sqrt{2} ).

Чтобы найти длину хорды, на которую опирается угол в 45 градусов, необходимо знать радиус окружности, в которой эта хорда расположена. Давайте рассмотрим, как это сделать.

1. Определение хорды и угла: Хорда — это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Угол в 45 градусов называется центральным углом, если его вершина находится в центре окружности.

2. Согласно теореме о хордах: Если угол опирается на хорду, то длина этой хорды может быть найдена через радиус окружности и значение угла. В данном случае мы используем формулу для длины хорды ( L ): [ L = 2R \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) ] где:

   • ( L ) — длина хорды,
   • ( R ) — радиус окружности,
   • ( \theta ) — центральный угол в радианах.

3. Перевод градусов в радианы: Угол в 45 градусов в радианах равен: [ \theta = \frac{45 \cdot \pi}{180} = \frac{\pi}{4} ]

4. Подстановка значений: Теперь подставим значение угла в формулу: [ L = 2R \cdot \sin\left(\frac{\pi/4}{2}\right) = 2R \cdot \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) ]

5. Находим значение синуса: Значение ( \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) ) можно выразить через известные формулы. Оно равно: [ \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} ]

6. Итоговая формула для длины хорды: Подставляя это значение в формулу длины хорды, получаем: [ L = 2R \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} = R \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} ]

Таким образом, длина хорды, на которую опирается угол 45 градусов, равна ( R \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} ), где ( R ) — радиус окружности. Если известен радиус, можно подставить его значение для нахождения конкретной длины хорды.

Для нахождения длины хорды, на которую опирается угол (45^\circ), необходимо разобраться с геометрическим контекстом задачи. Давайте разберём её подробно.

Исходные данные:

1. Хорда — это отрезок, соединяющий две точки на окружности.
2. Угол (45^\circ) опирается на эту хорду. Это означает, что вершина угла находится на окружности, а его стороны пересекают окружность в концах хорды.
3. Радиус окружности обозначим через (R) (он не указан в задаче, поэтому мы будем работать с параметром (R)).

Шаги решения:

1. Связь между центральным и вписанным углами.

Известно, что вписанный угол в окружности равен половине центрального угла, который опирается на ту же хорду. То есть, если вписанный угол равен (45^\circ), то центральный угол будет равен: [ 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ. ]

2. Геометрическое расположение.

Центральный угол (90^\circ) делит окружность на две дуги, каждая из которых равна (90^\circ). Таким образом, хорда, на которую опирается данный угол, образует равнобедренный прямоугольный треугольник с радиусами окружности.

• Центр окружности обозначим как (O).
• Концы хорды обозначим как (A) и (B).
• Радиусы (OA) и (OB) равны (R), так как они соединяют центр с точками на окружности.
• Угол (AOB = 90^\circ).

3. Применение теоремы Пифагора.

Поскольку треугольник (OAB) является равнобедренным прямоугольным, хорда (AB) является гипотенузой в этом треугольнике. По теореме Пифагора: [ AB^2 = OA^2 + OB^2. ] Подставляем (OA = OB = R): [ AB^2 = R^2 + R^2 = 2R^2. ] Следовательно, длина хорды: [ AB = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}. ]

Ответ:

Длина хорды, на которую опирается угол (45^\circ), равна (R\sqrt{2}), где (R) — радиус окружности.

Если в задаче был указан конкретный радиус, подставьте его значение в формулу (R\sqrt{2}), чтобы получить числовой ответ.