Найти длину вектора a+b-c, если векторы |a|=1, |b|=2 |c|=3, (a^b)=90 градусов (b^c)=60 градусов (a^c)=120...

Для нахождения длины вектора a+b-c сначала определим координаты векторов a, b, c. Для удобства обозначим угол между векторами a и b как α, между b и c как β, а между a и c как γ.

Так как |a| = 1, |b| = 2, |c| = 3, то мы можем записать векторы а, b, c в виде:

a = (1 cos(α), 1 sin(α))

b = (2 cos(β), 2 sin(β))

c = (3 cos(γ), 3 sin(γ))

Теперь найдем углы α, β и γ:

cos(α) = (a b) / (|a| |b|) = cos(90) = 0

cos(β) = (b c) / (|b| |c|) = cos(60) = 0.5

cos(γ) = (a c) / (|a| |c|) = cos(120) = -0.5

Таким образом, координаты векторов a, b, c:

a = (0, 1)

b = (1, √3)

c = (-1.5, 2.598)

Теперь найдем вектор a+b-c:

a+b-c = (0 + 1 - (-1.5), 1 + √3 - 2.598) = (1.5, √3 - 1.598)

Длина вектора a+b-c равна:

|a+b-c| = √(1.5^2 + (√3 - 1.598)^2) ≈ √(2.25 + 0.652) ≈ √2.902 ≈ 1.70

Таким образом, длина вектора a+b-c при данных условиях составляет примерно 1.70.

Чтобы найти длину вектора ( \mathbf{a+b-c} ), можно воспользоваться формулой для нахождения длины суммы и разности векторов. Прежде всего, воспользуемся формулой для квадрата длины суммы векторов:

[ |\mathbf{a + b - c}|^2 = |\mathbf{a + b}|^2 + |\mathbf{c}|^2 - 2 (\mathbf{a + b}) \cdot \mathbf{c} ]

Рассмотрим каждый компонент отдельно:

1. ( |\mathbf{a + b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + 2 |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\mathbf{a}^{\mathbf{b}}) )

   Поскольку угол между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равен 90 градусов (перпендикулярны), ( \cos 90^\circ = 0 ), следовательно:

   [ |\mathbf{a + b}|^2 = 1^2 + 2^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 0 = 1 + 4 = 5 ]

2. ( (\mathbf{a + b}) \cdot \mathbf{c} ) можно разложить как ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} ):

   [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = |\mathbf{a}| |\mathbf{c}| \cos(\mathbf{a}^{\mathbf{c}}) = 1 \cdot 3 \cdot \cos 120^\circ = 3 \cdot (-0.5) = -1.5 ]

   [ \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = |\mathbf{b}| |\mathbf{c}| \cos(\mathbf{b}^{\mathbf{c}}) = 2 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 6 \cdot 0.5 = 3 ]

   Таким образом:

   [ (\mathbf{a + b}) \cdot \mathbf{c} = -1.5 + 3 = 1.5 ]

Подставим все найденные значения обратно в формулу для квадрата длины:

[ |\mathbf{a + b - c}|^2 = 5 + 9 - 2 \cdot 1.5 = 14 - 3 = 11 ]

Следовательно, длина вектора ( \mathbf{a + b - c} ) равна ( \sqrt{11} ).