Найти координаты точки , принадлежащей оси ординат и равноудаленной от точек С(2;-1) D(-3;7)

Для решения задачи необходимо найти координаты точки ( P(0; y) ), которая принадлежит оси ординат и равноудалена от точек ( C(2; -1) ) и ( D(-3; 7) ).

Так как точка ( P ) принадлежит оси ординат, её абсцисса равна нулю, а координаты будут ( P(0; y) ).

Точка ( P ) равноудалена от точек ( C ) и ( D ), значит, расстояния от ( P ) до ( C ) и от ( P ) до ( D ) равны. Используем формулу для вычисления расстояния между двумя точками:

[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]

Для точки ( C(2; -1) ), расстояние до точки ( P(0; y) ) будет:

[ d_{PC} = \sqrt{(0 - 2)^2 + (y + 1)^2} = \sqrt{4 + (y + 1)^2} ]

Для точки ( D(-3; 7) ), расстояние до точки ( P(0; y) ) будет:

[ d_{PD} = \sqrt{(0 + 3)^2 + (y - 7)^2} = \sqrt{9 + (y - 7)^2} ]

Условие равноудалённости:

[ \sqrt{4 + (y + 1)^2} = \sqrt{9 + (y - 7)^2} ]

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:

[ 4 + (y + 1)^2 = 9 + (y - 7)^2 ]

Раскроем скобки:

[ 4 + y^2 + 2y + 1 = 9 + y^2 - 14y + 49 ]

Упростим уравнение:

[ y^2 + 2y + 5 = y^2 - 14y + 58 ]

Сократим ( y^2 ) с обеих сторон:

[ 2y + 5 = -14y + 58 ]

Перенесём все члены, содержащие ( y ), в одну сторону уравнения, а свободные члены в другую:

[ 2y + 14y = 58 - 5 ]

[ 16y = 53 ]

Разделим обе стороны уравнения на 16:

[ y = \frac{53}{16} ]

Следовательно, координаты точки ( P ), принадлежащей оси ординат и равноудаленной от точек ( C ) и ( D ), равны ( P\left(0; \frac{53}{16}\right) ).

Для нахождения координат точки, принадлежащей оси ординат и равноудаленной от точек C(2;-1) и D(-3;7), нужно использовать свойство симметрии относительно оси ординат.

Поскольку точка, равноудаленная от двух различных точек, лежит на их серединном перпендикуляре, найдем середину отрезка CD. Для этого вычислим координаты середины отрезка:

Середина отрезка CD: x = (x₁ + x₂) / 2 = (2 + (-3)) / 2 = -1/2 y = (y₁ + y₂) / 2 = (-1 + 7) / 2 = 3

Таким образом, середина отрезка CD имеет координаты M(-1/2;3). Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точку M(-1/2;3) и перпендикулярной к прямой CD.

Уравнение прямой, проходящей через точку (x₁;y₁) и перпендикулярной к прямой y = kx + b имеет вид: y - y₁ = -1/k(x - x₁)

Для перпендикулярной прямой к прямой CD коэффициент наклона k = -1/k_CD, где k_CD - коэффициент наклона прямой CD. Найдем его:

k_CD = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (7 - (-1)) / (-3 - 2) = 8 / (-5) = -8/5

Тогда для перпендикулярной прямой коэффициент наклона будет k = 5/8. Теперь подставим координаты точки M(-1/2;3) и коэффициент наклона k = 5/8 в уравнение прямой:

y - 3 = 5/8(x + 1/2)

Приведем уравнение к виду y = kx + b:

y = 5/8x + 15/8

Таким образом, координаты искомой точки, принадлежащей оси ординат и равноудаленной от точек C(2;-1) и D(-3;7), будут (0;15/8).

Для нахождения координат точки, равноудаленной от точек C(2;-1) и D(-3;7) находим середину отрезка CD. Получаем точку с координатами (-0.5;3). Таким образом, искомая точка находится на оси ординат и имеет координаты (0;3).