Найти объём тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6см и гипотенузой 10см...

Для того чтобы найти объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, необходимо сначала определить параметры треугольника. В данном случае у нас есть прямоугольный треугольник с катетом 6 см и гипотенузой 10 см.

Для начала найдем длину второго катета. Воспользуемся теоремой Пифагора:

[ a^2 + b^2 = c^2 ]

где ( a ) и ( b ) — катеты, а ( c ) — гипотенуза.

Подставим известные значения:

[ 6^2 + b^2 = 10^2 ]

[ 36 + b^2 = 100 ]

[ b^2 = 100 - 36 ]

[ b^2 = 64 ]

[ b = 8 ]

Таким образом, второй катет равен 8 см. Теперь у нас есть полная информация о треугольнике: катеты 6 см и 8 см, гипотенуза 10 см.

Теперь рассмотрим вращение треугольника вокруг большего катета (8 см). При таком вращении треугольник образует тело вращения, которое является усеченным конусом.

Для нахождения объема тела вращения воспользуемся формулой для объема конуса. В данном случае у нас получится усеченный конус с высотой 8 см, радиусом одного основания 6 см (меньший радиус) и радиусом второго основания 0 см (больший радиус).

Формула для объема конуса:

[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]

Однако в нашем случае радиус варьируется от 6 см до 0 см по высоте 8 см. Мы можем представить это как интеграл, который учитывает изменение радиуса по высоте:

[ V = \pi \int_{0}^{8} \left(\frac{6}{8}x\right)^2 dx ]

где ( x ) — переменная высоты от 0 до 8 см. Подставим выражение радиуса в квадрат:

[ V = \pi \int_{0}^{8} \left(\frac{6x}{8}\right)^2 dx ]

[ V = \pi \int_{0}^{8} \left(\frac{36x^2}{64}\right) dx ]

[ V = \pi \cdot \frac{36}{64} \int_{0}^{8} x^2 dx ]

[ V = \pi \cdot \frac{9}{16} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{8} ]

Теперь вычислим значение интеграла:

[ \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{8} = \frac{8^3}{3} = \frac{512}{3} ]

Подставим значение обратно:

[ V = \pi \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{512}{3} ]

[ V = \pi \cdot \frac{9 \cdot 512}{16 \cdot 3} ]

[ V = \pi \cdot \frac{4608}{48} ]

[ V = \pi \cdot 96 ]

[ V = 96\pi \, \text{кубических сантиметров} ]

Таким образом, объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большого катета, составляет ( 96\pi ) кубических сантиметров.

Для нахождения объема тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг большого катета, можно воспользоваться формулой объема вращения.

Объем тела, полученного при вращении фигуры вокруг прямой, равен произведению площади фигуры на длину окружности, образующейся при вращении.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катета на гипотенузу, то есть S = 0.5 6 10 = 30 кв.см.

Длина окружности, образующейся при вращении вокруг большого катета, равна периметру круга, т.е. 2πR, где R - радиус окружности. Радиус окружности равен большему катету треугольника, то есть R = 6 см.

Таким образом, длина окружности равна 2π * 6 = 12π см.

Теперь можем найти объем тела: V = S L, где S - площадь фигуры, L - длина окружности. Подставляем известные значения: V = 30 12π = 360π куб.см.

Итак, объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большого катета, равен 360π куб.см.

Объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, равен π(квадрат большого катета)(длина малого катета)/3.