Найти площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной 6 см, если угол при вершине равен 30°

Площадь равнобедренного треугольника равна (S = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}), где а - боковая сторона. Подставляя значения, получаем (S = \frac{6^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \, см^2).

Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной 6 см и углом при вершине 30°, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Определение параметров треугольника:

   • Боковые стороны треугольника, равные, составляют 6 см каждая.
   • Угол при вершине (между боковыми сторонами) равен 30°.

2. Разделение треугольника:

   • Проведем высоту из вершины, делящую треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Высота опускается на основание, деля его пополам.
   • Пусть основание треугольника будет ( AB ), высота ( CD ), где ( D ) — точка на основании ( AB ).

3. Работа с прямоугольным треугольником:

   • Рассмотрим один из полученных прямоугольных треугольников, например ( \triangle ACD ).
   • Угол ( \angle ACD = 15° ) (поскольку высота делит угол 30° пополам).

4. Использование тригонометрии:

   • В прямоугольном треугольнике ( \triangle ACD ), ( AC = 6 ) см.
   • Используем косинус угла для нахождения прилежащего катета ( AD ): [ \cos(15°) = \frac{AD}{AC} ] [ AD = AC \cdot \cos(15°) = 6 \cdot \cos(15°) ]
   • Косинус 15° можно выразить как: [ \cos(15°) = \cos(45° - 30°) = \cos(45°)\cos(30°) + \sin(45°)\sin(30°) ] [ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ]
   • Тогда: [ AD = 6 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{6\sqrt{6} + 6\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{2} ]

5. Нахождение высоты ( CD ):

   • Используем синус угла для нахождения противоположного катета ( CD ): [ \sin(15°) = \frac{CD}{AC} ] [ CD = AC \cdot \sin(15°) = 6 \cdot \sin(15°) ]
   • Синус 15°: [ \sin(15°) = \sin(45° - 30°) = \sin(45°)\cos(30°) - \cos(45°)\sin(30°) ] [ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} ]
   • Тогда: [ CD = 6 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{6\sqrt{6} - 6\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{6} - 3\sqrt{2}}{2} ]

6. Площадь треугольника:

   • Площадь треугольника ( S ) находится по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD ]
   • Основание ( AB = 2 \cdot AD = 2 \cdot \frac{3\sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{6} + 3\sqrt{2} )
   • Тогда: [ S = \frac{1}{2} \cdot (3\sqrt{6} + 3\sqrt{2}) \cdot \frac{3\sqrt{6} - 3\sqrt{2}}{2} ] [ = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{3\sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{1} \right) \cdot \left( \frac{3\sqrt{6} - 3\sqrt{2}}{2} \right) ] [ = \frac{1}{4} \cdot ((3\sqrt{6})^2 - (3\sqrt{2})^2) ] [ = \frac{1}{4} \cdot (54 - 18) ] [ = \frac{1}{4} \cdot 36 = 9 \text{ см}^2 ]

Итак, площадь данного равнобедренного треугольника составляет 9 см².

Для нахождения площади равнобедренного треугольника с боковой стороной 6 см и углом при вершине равным 30°, можно воспользоваться формулой площади треугольника:

S = 0.5 a b * sin(C),

где S - площадь треугольника, а и b - длины сторон, а C - угол между этими сторонами.

Поскольку у нас равнобедренный треугольник, то угол при вершине делится на два равных угла, следовательно, каждый из этих углов равен 15°. Таким образом, для нахождения площади нам нужно найти высоту треугольника, которая будет проведена из вершины треугольника к середине основания.

Для этого можем воспользоваться теоремой синусов:

h = c * sin(A),

где h - высота треугольника, c - длина основания треугольника, A - угол при вершине.

Таким образом, h = 6 * sin(15°) ≈ 1.55 см.

И, наконец, используя формулу площади треугольника, получаем:

S = 0.5 6 1.55 ≈ 4.65 см².

Итак, площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной 6 см и углом при вершине равным 30° составляет примерно 4.65 квадратных сантиметра.