Найти радиус шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду с высотой , равной 8, и апофемой, равной...

Чтобы найти радиус шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, нужно воспользоваться несколькими известными свойствами и формулами.

Дано:

• Высота пирамиды ( h = 8 ).
• Апофема пирамиды ( l = 10 ).

Шаги решения:

1. Правильная треугольная пирамида:

   • Основание пирамиды — правильный треугольник.
   • Апофема является высотой боковой грани, которая представляет собой равнобедренный треугольник.

2. Нахождение стороны основания:

   • Для правильной треугольной пирамиды, если знать высоту пирамиды (перпендикуляр от вершины к центру основания) и апофему, можно найти радиус вписанной окружности в основание (правильный треугольник).
   • Рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и отрезком от центра основания до середины стороны основания.
   • Пусть ( O ) — центр основания, ( A ) — вершина пирамиды, ( M ) — середина стороны основания, тогда ( OA = h = 8 ), ( AM = l = 10 ).

3. Применение теоремы Пифагора:

   • В прямоугольном треугольнике ( OAM ): [ OM = \sqrt{AM^2 - OA^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 ]

4. Нахождение стороны основания:

   • Так как ( OM ) — это радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, то: [ OM = \frac{a \sqrt{3}}{3} ]
   • Отсюда можно найти длину стороны основания ( a ): [ 6 = \frac{a \sqrt{3}}{3} \implies a = 6 \times \frac{3}{\sqrt{3}} = 6 \times \sqrt{3} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = 6 \cdot \frac{3}{3} = 6\sqrt{3} ]

5. Радиус вписанного шара:

   • Радиус ( r ) вписанного шара в пирамиду можно найти через формулу: [ r = \frac{3V}{S_{\text{полн}}} ]
   • Объем пирамиды ( V ): [ V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h ]
   • Площадь основания ( S{\text{осн}} ): [ S{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (6\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 108 = 27\sqrt{3} ]
   • Площадь полной поверхности ( S{\text{полн}} ): [ S{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + 3 \cdot \text{площадь боковой грани} ]
   • Площадь боковой грани (равнобедренного треугольника): [ S{\text{бок}} = \frac{1}{2} a \cdot h{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 10 = 30\sqrt{3} ]
   • Полная площадь: [ S_{\text{полн}} = 27\sqrt{3} + 3 \cdot 30\sqrt{3} = 27\sqrt{3} + 90\sqrt{3} = 117\sqrt{3} ]

6. Вычисление радиуса вписанного шара:

   • Объем пирамиды: [ V = \frac{1}{3} \cdot 27\sqrt{3} \cdot 8 = 72\sqrt{3} ]
   • Радиус: [ r = \frac{3 \cdot 72\sqrt{3}}{117\sqrt{3}} = \frac{216\sqrt{3}}{117\sqrt{3}} = \frac{216}{117} = \frac{72}{39} = \frac{24}{13} ]

Таким образом, радиус шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, равен (\frac{24}{13}).

Для нахождения радиуса шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, мы можем воспользоваться следующей формулой:

r = (V * 3) / (h + a)

Где: r - радиус вписанного шара V - объем правильной треугольной пирамиды h - высота пирамиды a - апофема (радиус вписанной окружности основания пирамиды)

Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды используем формулу:

V = (a^2 * h) / 6

Подставляем данные из условия: h = 8 a = 10

V = (10^2 * 8) / 6 V = 133.33

Теперь подставляем значения в формулу для нахождения радиуса шара:

r = (133.33 * 3) / (8 + 10) r = 39.99 / 18 r = 2.22

Итак, радиус шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду с высотой 8 и апофемой 10, равен приблизительно 2.22.