Найти высоту правильной треугольной пирамиды, у которой боковая поверхность 60 корень из 3, а полная поверхность 108 корень из 3 Распишите пожалуйста подробнее, заранее спасибо)
Найти высоту правильной треугольной пирамиды, у которой боковая поверхность 60 корень из 3, а полная поверхность 108 корень из 3 Распишите пожалуйста подробнее, заранее спасибо)
Для начала, обозначим высоту пирамиды за h, длину стороны основания за a, а боковую сторону пирамиды (высоту боковой грани) за l.
Поскольку пирамида правильная и треугольная, у нее основание - правильный треугольник, а боковые грани - равносторонние треугольники.
Дано, что боковая поверхность равна 60√3, а полная поверхность равна 108√3. Полная поверхность пирамиды состоит из площадей основания и всех боковых граней. Так как у треугольной пирамиды 4 боковые грани, то площадь одной боковой грани равна (1/4) * (полная поверхность - площадь основания).
Следовательно, площадь одной боковой грани равна (1/4) (108√3 - a^2 √3). Поскольку боковая грань - равносторонний треугольник, то ее площадь можно найти по формуле (l^2 * √3) / 4, где l - длина стороны боковой грани. У нас известно, что площадь боковой грани равна 60√3, поэтому можем записать уравнение:
(l^2 * √3) / 4 = 60√3
Отсюда находим длину стороны боковой грани l = 20.
Теперь, зная длину стороны боковой грани, можем найти высоту пирамиды. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половиной боковой грани, высотой пирамиды h и радиусом вписанной окружности r:
r = l / (2 √3) = 20 / (2 √3) = 10 / √3
Теперь можем воспользоваться формулой для высоты пирамиды:
h = √(a^2 - r^2) = √(a^2 - (10 / √3)^2) = √(a^2 - 100 / 3)
Также, у нас есть информация о площади боковой грани (равностороннего треугольника), которая равна 60√3. Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле (a^2 * √3) / 4 = 60√3. Отсюда находим длину стороны основания a = 20.
Подставляем найденное значение a = 20 в формулу для высоты пирамиды h = √(20^2 - 100 / 3) = √(400 - 100 / 3) = √(1200 / 3 - 100 / 3) = √(1100 / 3) = 10√(11 / 3).
Итак, высота правильной треугольной пирамиды равна 10√(11 / 3).
Для решения задачи найдем высоту правильной треугольной пирамиды, используя известные значения боковой и полной поверхностей. Давайте пошагово разберем решение.
Обозначения и исходные данные:
Найдем площадь основания пирамиды:
Полная поверхность пирамиды состоит из площади основания и боковой поверхности. Поэтому можно выразить площадь основания ( S{\text{осн}} ) через полную и боковую поверхности: [ S{\text{полн}} = S{\text{осн}} + S{\text{бок}} ] Подставим известные значения: [ 108 \sqrt{3} = S{\text{осн}} + 60 \sqrt{3} ] Решим это уравнение для ( S{\text{осн}} ): [ S_{\text{осн}} = 108 \sqrt{3} - 60 \sqrt{3} = 48 \sqrt{3} ]
Найдем сторону основания треугольника:
Основание пирамиды — правильный треугольник. Площадь правильного треугольника со стороной ( a ) выражается формулой: [ S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} ] Подставим найденную площадь основания: [ \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = 48 \sqrt{3} ] Умножим обе части уравнения на 4, чтобы убрать знаменатель: [ a^2 \sqrt{3} = 192 \sqrt{3} ] Разделим обе части уравнения на ( \sqrt{3} ): [ a^2 = 192 ] Найдем сторону основания ( a ): [ a = \sqrt{192} = 8 \sqrt{3} ]
Найдем апофему (высоту боковой грани) пирамиды:
Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна сумме площадей трех равнобедренных треугольников. Площадь одного из этих треугольников с основанием ( a ) и апофемой ( h{\text{бок}} ) равна: [ S{\text{треуг}} = \frac{1}{2} a h{\text{бок}} ] Учитывая, что у нас три таких треугольника: [ S{\text{бок}} = 3 \cdot \frac{1}{2} a h{\text{бок}} = \frac{3}{2} a h{\text{бок}} ] Подставим известные значения: [ 60 \sqrt{3} = \frac{3}{2} (8 \sqrt{3}) h{\text{бок}} ] Упростим уравнение: [ 60 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3} h{\text{бок}} ] Разделим обе части уравнения на ( 12 \sqrt{3} ): [ h_{\text{бок}} = \frac{60 \sqrt{3}}{12 \sqrt{3}} = 5 ]
Найдем высоту пирамиды:
Высота пирамиды ( h ) связана с апофемой и радиусом вписанной окружности в основании. В правильной треугольной пирамиде: [ h{\text{бок}}^2 = h^2 + r{\text{впис}}^2 ] Радиус вписанной окружности правильного треугольника со стороной ( a ) равен: [ r_{\text{впис}} = \frac{a \sqrt{3}}{6} = \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} = 4 ] Подставим значения в уравнение: [ 5^2 = h^2 + 4^2 ] Упростим уравнение: [ 25 = h^2 + 16 ] Решим его для ( h ): [ h^2 = 25 - 16 = 9 ] [ h = \sqrt{9} = 3 ]
Итак, высота правильной треугольной пирамиды равна 3.
