Напишите уравнение окружности, которая проходит через точки А (−7; 8) и В (−3; −4). При этом хорда АВ является диаметром окружности.
Напишите уравнение окружности, которая проходит через точки А (−7; 8) и В (−3; −4). При этом хорда АВ является диаметром окружности.
Для того чтобы найти уравнение окружности, проходящей через точки ( A(-7, 8) ) и ( B(-3, -4) ), где хорда ( AB ) является диаметром окружности, нужно выполнить следующие шаги:
Найти центр окружности:
Поскольку хорда ( AB ) является диаметром окружности, центр окружности будет находиться в середине отрезка ( AB ). Координаты середины ( M ) отрезка ( AB ) можно найти по формуле: [ M\left(x_m, y_m\right) = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) ] Подставляя координаты точек ( A(-7, 8) ) и ( B(-3, -4) ): [ x_m = \frac{-7 + (-3)}{2} = \frac{-10}{2} = -5 ] [ y_m = \frac{8 + (-4)}{2} = \frac{4}{2} = 2 ] Таким образом, центр окружности ( M ) имеет координаты ( (-5, 2) ).
Найти радиус окружности:
Радиус окружности равен половине длины диаметра ( AB ). Для нахождения длины отрезка ( AB ) используем формулу расстояния между двумя точками: [ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ] Подставляя координаты: [ AB = \sqrt{(-3 - (-7))^2 + (-4 - 8)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-12)^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} ] Следовательно, радиус ( r ) равен: [ r = \frac{AB}{2} = \frac{4\sqrt{10}}{2} = 2\sqrt{10} ]
Записать уравнение окружности:
Уравнение окружности с центром в точке ( (x_0, y_0) ) и радиусом ( r ) имеет вид: [ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 ] Подставляя найденные значения: [ (x + 5)^2 + (y - 2)^2 = (2\sqrt{10})^2 ] [ (x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 40 ]
Таким образом, уравнение окружности, проходящей через точки ( A(-7, 8) ) и ( B(-3, -4) ), где ( AB ) является диаметром, имеет вид: [ (x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 40 ]
Для того чтобы найти уравнение окружности, проходящей через точки А (-7; 8) и В (-3; -4) с хордой АВ в качестве диаметра, необходимо сначала найти центр окружности.
Сначала найдем координаты центра окружности, который будет являться серединой отрезка АВ (так как хорда АВ является диаметром). Для этого найдем среднее арифметическое координат точек А и В: xц = (-7 - 3) / 2 = -5 yц = (8 - 4) / 2 = 2
Таким образом, центр окружности имеет координаты (-5; 2).
Теперь найдем радиус окружности, который равен половине длины хорды АВ: r = √[(-3 - (-7))^2 + (-4 - 8)^2] / 2 = √[16^2 + 12^2] / 2 = √(256 + 144) / 2 = √400 / 2 = 10 / 2 = 5
Теперь у нас есть координаты центра окружности (-5; 2) и радиус r = 5. Уравнение окружности в общем виде имеет вид: (x - xц)^2 + (y - yц)^2 = r^2 (x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 5^2 (x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 25
Итак, уравнение окружности, проходящей через точки А (-7; 8) и В (-3; -4) с хордой АВ в качестве диаметра, будет (x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 25.
