№1 В треугольнике ABC со сторонами AB=2 см, BC=3 см и AC=3 см проведена биссектриса BM. Найдите длины...

1. AM=1.5 см, MC=1.5 см
2. MP=2 см, PK=2.5 см
3. DE=6 см, EP=5 см
4. AB=2 см, BC=5 см
5. CB=16 см, DE=20 см
6. Площадь треугольника равна 24 кв. см
7. Катеты равны 24 см и 18 см, площадь равна 216 кв. см
8. Угол между биссектрисами равен 50 градусов
9. Отрезки равны 2 см и 2√3 см
10. Отрезки равны √3 и 1.

Вопрос №1

В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=2\text{см}$, $BC=3\text{см}$ и $AC=3\text{см}$ проведена биссектриса $BM$. Найдите длины отрезков $AM$ и $MC$.

Поскольку $ABC$ является равнобедренным треугольником $(AC=BC$), биссектриса $BM$ также является медианой и высотой. Это делит сторону $AC$ на два равных отрезка: $AM=MC$

Так как $AC=3\text{см}$: $AM=MC=\frac{AC}{2}=\frac{3}{2}=1.5\text{см}$

Вопрос №2

В треугольнике $MNK$ известны длины сторон $MN=4\text{см}$, $NK=5\text{см}$, $NP$ — биссектриса, а разность длин отрезков $MP$ и $PK$ равна $0.5\text{см}$. Найдите $MP$ и $PK$.

Известно, что биссектриса делит противоположную сторону $вданномслучаесторону(MK$) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть: $\frac{MP}{PK}=\frac{MN}{NK}=\frac{4}{5}$

Обозначим $MP=x$ и $PK=y$. Тогда: $x-y=0.5\text{см}$ $\frac{x}{y}=\frac{4}{5}$

Из второго уравнения: $x=\frac{4}{5}y$

Подставим это выражение в первое уравнение: $\frac{4}{5}y-y=0.5$ $\frac{4y-5y}{5}=0.5$ $-\frac{y}{5}=0.5$ $y=-2.5\text{см}\text{(не может быть отрицательным)}$

Рассмотрим ошибку. Возможно, $x$ и $y$ перепутаны: $y=\frac{5}{4}x$ $x-\frac{5}{4}x=0.5$ $\frac{-x}{4}=0.5$ $x=-2\text{см}\text{(неправильный расчет)}$

Пусть $MP+PK=MK$. Тогда: $x+y=MK$ $x+\frac{5}{4}x=MK$

Исправим: $x-y=0.5$ $\frac{x}{y}=\frac{4}{5}$ $x=\frac{4}{5}y$

Вопрос №3

В треугольнике $DEP$ проведена биссектриса $EK$. Найдите стороны $DE$ и $EP$, если $DK=3\text{см}$, $KP=4\text{см}$, а периметр треугольника $DEP$ равен $21\text{см}$.

По теореме о биссектрисе: $\frac{DK}{KP}=\frac{DE}{EP}$ $\frac{3}{4}=\frac{DE}{EP}$

Обозначим $DE=3x$ и $EP=4x$. Тогда: $DE+EP+DP=21$ $3x+4x+DP=21$ $7x+DP=21$

DP также можно выразить через $DE$ и $EP$: $DP=21-(3x+4x)=21-7x$ $7x=21$ $x=3$

Следовательно: $DE=3\times 3=9\text{см}$ $EP=4\times 3=12\text{см}$

Вопрос №4

В треугольнике $ABC$: $BC-AB=3\text{см}$, биссектриса $BD$ делит сторону $AC$ на отрезки $AD=2\text{см}$ и $DC=3\text{см}$. Найдите длины сторон $AB$ и $BC$.

По теореме о биссектрисе: $\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}=\frac{2}{3}$

Обозначим $AB=x$ и $BC=y$. Тогда: $y-x=3$ $\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$

Из второго уравнения: $3x=2y$ $y=\frac{3}{2}x$

Подставляем в первое уравнение: $\frac{3}{2}x-x=3$ $\frac{1}{2}x=3$ $x=6\text{см}$

Следовательно: $AB=6\text{см}$ $BC=\frac{3}{2}\times 6=9\text{см}$

Вопрос №6

Периметр треугольника $CDE$ равен $55\text{см}$. В этот треугольник вписан ромб $DMFN$ так, что вершины $M,F$ и $N$ лежат соответственно на сторонах $CD,CE$ и $DE$. Найдите стороны $CB$ и $DE$, если $CF=8\text{см}$; $EF=12\text{см}$.

Известно, что $DMFN$ является ромбом, значит все его стороны равны. Обозначим их длины за $a$.

Периметр треугольника: $CD+DE+CE=55\text{см}$

Однако, в задачах может быть ошибка в обозначении треугольника, и требуется уточнение.

Вопрос №7

В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла. Известно, что эта биссектриса делит противолежащий катет на отрезки $4\text{см}$ и $5\text{см}$. Найдите площадь прямоугольного треугольника.

Известно, что биссектриса в прямоугольном треугольнике делит противолежащий катет на отрезки, пропорциональные прилежащим катетам. Обозначим катеты за $a$ и $b$, тогда: $\frac{a}{b}=\frac{4}{5}$

Пусть $a=4k$ и $b=5k$. Тогда: $a^2+b^2=c^2$ $(4k{)}^2+(5k{)}^2=c^2$ $16k^2+25k^2=c^2$ $41k^2=c^2$ $c=\sqrt{41}k$

Площадь треугольника: $S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(4k)(5k)=10k^2$

Вопрос №8

Точка $O$ на гипотенузе равноудалена от двух катетов прямоугольного треугольника и делит гипотенузу на части длиной $30\text{см}$ и $40\text{см}$. Найдите катеты треугольника и его площадь.

Пусть $O$ делит гипотенузу $AB$ на отрезки $AO=30\text{см}$ и $BO=40\text{см}$. Гипотенуза: $AB=30+40=70\text{см}$

Точка $O$ - середина гипотенузы: $AO=BO$

Используем теорему Пифагора: $AB=\sqrt{a^2+b^2}=70$

Площадь треугольника: $S=\frac{1}{2}ab$

Вопрос №9

Найдите угол между биссектрисами двух углов треугольника, если градусная мера одного из этих углов равна ${40}^{\circ }$, а градусная мера третьего угла ${60}^{\circ }$.

Углы треугольника: $\alpha ={40}^{\circ }$ $\beta =?$ $\gamma ={60}^{\circ }$

Сумма углов треугольника: $\alpha +\beta +\gamma ={180}^{\circ }$ ${40}^{\circ }+\beta +{60}^{\circ }={180}^{\circ }$ $\beta ={80}^{\circ }$

Угол между биссектрисами: $\frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{2}=?$

Вопрос №10

В прямоугольном треугольнике с углом ${30}^{\circ }$ и гипотенузой, равной $4\text{см}$, проведена биссектриса к гипотенузе. Найдите отрезки, на которые она разбивает эту гипотенузу.

Вопрос №11

В прямоугольном треугольнике с углом ${60}^{\circ }$ и меньшим катетом, равным $\sqrt{3}$, проведена биссектриса к гипотенузе. Найдите отрезки на гипотенузе, образованные от проведения этой биссектрисы.

1. В треугольнике ABC со сторонами AB=2 см, BC=3 см и AC=3 см проведена биссектриса BM. Для нахождения длин отрезков AM и MC можем воспользоваться теоремой биссектрисы. Согласно этой теореме, отрезок BM делит противолежащий угол на два угла, пропорциональные длинам прилегающих сторон. Таким образом, AM/CM = AB/BC = 2/3. Поскольку AM + MC = AC = 3 см, подставляем найденное соотношение и находим AM = 1 см, MC = 2 см.

2. В треугольнике MNK известны длины сторон MN=4 см, NK=5 см, NP — биссектриса, а разность длин отрезков MP и PK равна 0,5 см. Рассмотрим отрезки MP и PK. По теореме биссектрисы, MN/MK = MP/PK. Известно, что MN = 4 см, NK = 5 см, и MP - PK = 0,5 см. Подставляем данные и находим MP = 2 см, PK = 2,5 см.

3. В треугольнике DEP проведена биссектриса EK. По теореме биссектрисы, DK/KP = DE/EP. Периметр треугольника DEP равен 21 см, значит, DE + EP + DP = 21 см. Известно, что DK = 3 см, KP = 4 см. Подставляем данные и найдем DE = 9 см, EP = 12 см.

4. В треугольнике ABC: BC-AB=3 см, биссектриса BD делит сторону AC на отрезки AD=2 см и DC=3 см. Используем теорему биссектрисы, чтобы найти отношение сторон. AD/DC = AB/BC. Также известно, что BC - AB = 3 см. Подставляем данные и находим AB = 2 см, BC = 5 см.