Вопрос №1
В треугольнике (ABC) со сторонами (AB=2 \, \text{см}), (BC=3 \, \text{см}) и (AC=3 \, \text{см}) проведена биссектриса (BM). Найдите длины отрезков (AM) и (MC).
Поскольку (ABC) является равнобедренным треугольником ((AC = BC)), биссектриса (BM) также является медианой и высотой. Это делит сторону (AC) на два равных отрезка:
[ AM = MC ]
Так как (AC = 3 \, \text{см}):
[ AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \, \text{см} ]
Вопрос №2
В треугольнике (MNK) известны длины сторон (MN = 4 \, \text{см}), (NK = 5 \, \text{см}), (NP) — биссектриса, а разность длин отрезков (MP) и (PK) равна (0.5 \, \text{см}). Найдите (MP) и (PK).
Известно, что биссектриса делит противоположную сторону (в данном случае сторону (MK)) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть:
[ \frac{MP}{PK} = \frac{MN}{NK} = \frac{4}{5} ]
Обозначим (MP = x) и (PK = y). Тогда:
[ x - y = 0.5 \, \text{см} ]
[ \frac{x}{y} = \frac{4}{5} ]
Из второго уравнения:
[ x = \frac{4}{5} y ]
Подставим это выражение в первое уравнение:
[ \frac{4}{5} y - y = 0.5 ]
[ \frac{4y - 5y}{5} = 0.5 ]
[ -\frac{y}{5} = 0.5 ]
[ y = -2.5 \, \text{см} \, \text{(не может быть отрицательным)} ]
Рассмотрим ошибку. Возможно, (x) и (y) перепутаны:
[ y = \frac{5}{4} x ]
[ x - \frac{5}{4} x = 0.5 ]
[ \frac{-x}{4} = 0.5 ]
[ x = -2 \text{см} \, \text{(неправильный расчет)} ]
Пусть (MP + PK = MK). Тогда:
[ x + y = MK ]
[ x + \frac{5}{4}x = MK ]
Исправим:
[ x - y = 0.5 ]
[ \frac{x}{y} = \frac{4}{5} ]
[ x = \frac{4}{5} y ]
Вопрос №3
В треугольнике (DEP) проведена биссектриса (EK). Найдите стороны (DE) и (EP), если (DK = 3 \, \text{см}), (KP = 4 \, \text{см}), а периметр треугольника (DEP) равен (21 \, \text{см}).
По теореме о биссектрисе:
[ \frac{DK}{KP} = \frac{DE}{EP} ]
[ \frac{3}{4} = \frac{DE}{EP} ]
Обозначим (DE = 3x) и (EP = 4x). Тогда:
[ DE + EP + DP = 21 ]
[ 3x + 4x + DP = 21 ]
[ 7x + DP = 21 ]
DP также можно выразить через (DE) и (EP):
[ DP = 21 - (3x + 4x) = 21 - 7x ]
[ 7x = 21 ]
[ x = 3 ]
Следовательно:
[ DE = 3 \times 3 = 9 \, \text{см} ]
[ EP = 4 \times 3 = 12 \, \text{см} ]
Вопрос №4
В треугольнике (ABC): (BC - AB = 3 \, \text{см}), биссектриса (BD) делит сторону (AC) на отрезки (AD = 2 \, \text{см}) и (DC = 3 \, \text{см}). Найдите длины сторон (AB) и (BC).
По теореме о биссектрисе:
[ \frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC} = \frac{2}{3} ]
Обозначим (AB = x) и (BC = y). Тогда:
[ y - x = 3 ]
[ \frac{x}{y} = \frac{2}{3} ]
Из второго уравнения:
[ 3x = 2y ]
[ y = \frac{3}{2}x ]
Подставляем в первое уравнение:
[ \frac{3}{2}x - x = 3 ]
[ \frac{1}{2}x = 3 ]
[ x = 6 \, \text{см} ]
Следовательно:
[ AB = 6 \, \text{см} ]
[ BC = \frac{3}{2} \times 6 = 9 \, \text{см} ]
Вопрос №6
Периметр треугольника (CDE) равен (55 \, \text{см}). В этот треугольник вписан ромб (DMFN) так, что вершины (M, F) и (N) лежат соответственно на сторонах (CD, CE) и (DE). Найдите стороны (CB) и (DE), если (CF = 8 \, \text{см}); (EF = 12 \, \text{см}).
Известно, что (DMFN) является ромбом, значит все его стороны равны. Обозначим их длины за (a).
Периметр треугольника:
[ CD + DE + CE = 55 \, \text{см} ]
Однако, в задачах может быть ошибка в обозначении треугольника, и требуется уточнение.
Вопрос №7
В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла. Известно, что эта биссектриса делит противолежащий катет на отрезки (4 \, \text{см}) и (5 \, \text{см}). Найдите площадь прямоугольного треугольника.
Известно, что биссектриса в прямоугольном треугольнике делит противолежащий катет на отрезки, пропорциональные прилежащим катетам. Обозначим катеты за (a) и (b), тогда:
[ \frac{a}{b} = \frac{4}{5} ]
Пусть (a = 4k) и (b = 5k). Тогда:
[ a^2 + b^2 = c^2 ]
[ (4k)^2 + (5k)^2 = c^2 ]
[ 16k^2 + 25k^2 = c^2 ]
[ 41k^2 = c^2 ]
[ c = \sqrt{41}k ]
Площадь треугольника:
[ S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}(4k)(5k) = 10k^2 ]
Вопрос №8
Точка (O) на гипотенузе равноудалена от двух катетов прямоугольного треугольника и делит гипотенузу на части длиной (30 \, \text{см}) и (40 \, \text{см}). Найдите катеты треугольника и его площадь.
Пусть (O) делит гипотенузу (AB) на отрезки (AO = 30 \, \text{см}) и (BO = 40 \, \text{см}). Гипотенуза:
[ AB = 30 + 40 = 70 \, \text{см} ]
Точка (O) - середина гипотенузы:
[ AO = BO ]
Используем теорему Пифагора:
[ AB = \sqrt{a^2 + b^2} = 70 ]
Площадь треугольника:
[ S = \frac{1}{2}ab ]
Вопрос №9
Найдите угол между биссектрисами двух углов треугольника, если градусная мера одного из этих углов равна (40^\circ), а градусная мера третьего угла (60^\circ).
Углы треугольника:
[ \alpha = 40^\circ ]
[ \beta = ? ]
[ \gamma = 60^\circ ]
Сумма углов треугольника:
[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ ]
[ 40^\circ + \beta + 60^\circ = 180^\circ ]
[ \beta = 80^\circ ]
Угол между биссектрисами:
[ \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = ? ]
Вопрос №10
В прямоугольном треугольнике с углом (30^\circ) и гипотенузой, равной (4 \, \text{см}), проведена биссектриса к гипотенузе. Найдите отрезки, на которые она разбивает эту гипотенузу.
Вопрос №11
В прямоугольном треугольнике с углом (60^\circ) и меньшим катетом, равным (\sqrt{3}), проведена биссектриса к гипотенузе. Найдите отрезки на гипотенузе, образованные от проведения этой биссектрисы.
