Один из острых углов прямоугольного треугольника в 4 раза меньше другого. В другом прямоугольном треугольнике разность острых углов равна 54 градуса. Подобны ли эти треугольники? Почему?
Один из острых углов прямоугольного треугольника в 4 раза меньше другого. В другом прямоугольном треугольнике разность острых углов равна 54 градуса. Подобны ли эти треугольники? Почему?
Для ответа на вопрос о подобии треугольников, необходимо рассмотреть их углы. В прямоугольных треугольниках сумма всех углов равна 180 градусам, и один из углов всегда равен 90 градусам. Таким образом, сумма острых углов в любом прямоугольном треугольнике равна 90 градусам.
Рассмотрим первый треугольник. Пусть один из острых углов обозначим как ( \alpha ). Тогда другой острый угол будет равен ( 4\alpha ). Согласно свойству прямоугольного треугольника, мы получаем уравнение:
[ \alpha + 4\alpha = 90^\circ ] [ 5\alpha = 90^\circ ] [ \alpha = 18^\circ ]
Таким образом, углы первого прямоугольного треугольника равны 18 градусов и 72 градуса (так как ( 4 \times 18 = 72 )).
Теперь рассмотрим второй треугольник. Пусть его острые углы равны ( \beta ) и ( \gamma ), где ( \beta > \gamma ). По условию задачи, разность острых углов равна 54 градусам:
[ \beta - \gamma = 54^\circ ]
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусам, поэтому:
[ \beta + \gamma = 90^\circ ]
Теперь у нас есть система уравнений:
Сложим эти уравнения:
[ (\beta - \gamma) + (\beta + \gamma) = 54^\circ + 90^\circ ] [ 2\beta = 144^\circ ] [ \beta = 72^\circ ]
Подставим значение ( \beta ) в одно из уравнений системы, например, во второе:
[ 72^\circ + \gamma = 90^\circ ] [ \gamma = 18^\circ ]
Таким образом, углы второго треугольника равны 72 градуса и 18 градусов.
Мы видим, что углы обоих треугольников одинаковы: 18 градусов и 72 градуса. Это означает, что треугольники подобны, поскольку их углы равны, а по теореме о подобии треугольников (если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то такие треугольники подобны) это достаточно для утверждения подобия.
Для начала определим углы прямоугольных треугольников. Пусть первый треугольник имеет острый угол x, а второй треугольник имеет острый угол y. По условию задачи, угол в первом треугольнике в 4 раза меньше другого, то есть x = y/4. Также известно, что разность острых углов второго треугольника равна 54 градуса, то есть y - x = 54.
Подставим x = y/4 во второе условие: y - y/4 = 54. Упростим уравнение: 3y/4 = 54. Умножим обе части на 4: 3y = 216. Решив уравнение, найдем y = 72. Теперь найдем x: x = 72/4 = 18.
Итак, у первого треугольника углы равны 18°, 72° и прямой угол 90°. У второго треугольника углы равны 18°, 72° и 90°. Таким образом, треугольники будут подобны, поскольку у них соответственные углы равны.
