Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусов, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов...

Рассмотрим прямоугольный треугольник (ABC) с прямым углом (C). Пусть ( \angle A = 60^\circ ) и ( \angle B = 30^\circ ), так как сумма углов в треугольнике равна (180^\circ).

Обозначим:

• (AC = a) (катет напротив угла ( \angle B) в 30 градусов, меньший катет),
• (BC = b) (катет напротив угла ( \angle A) в 60 градусов, больший катет),
• (AB = c) (гипотенуза).

Для прямоугольного треугольника с углами 30 и 60 градусов, соотношения сторон таковы:

• меньший катет (a) равен половине гипотенузы (c): [ a = \frac{c}{2} ]
• больший катет (b) равен ( \frac{\sqrt{3}}{2}) от гипотенузы (c): [ b = \frac{\sqrt{3}c}{2} ]

Дано, что сумма гипотенузы и меньшего катета равна 25,4 см: [ c + a = 25,4 \text{ см} ]

Подставим значение (a = \frac{c}{2}) в это уравнение: [ c + \frac{c}{2} = 25,4 ]

Объединим члены: [ \frac{2c + c}{2} = 25,4 ] [ \frac{3c}{2} = 25,4 ]

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя: [ 3c = 50,8 ]

Теперь разделим обе части на 3, чтобы найти (c): [ c = \frac{50,8}{3} \approx 16,9333 \text{ см} ]

Таким образом, гипотенуза треугольника равна ( \approx 16,9333 \text{ см} ).

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться теоремой Пифагора, которая гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов прямоугольного треугольника.

Обозначим меньший катет через a, а гипотенузу через c. Тогда у нас есть следующие уравнения:

a^2 + (c/2)^2 = 25.4^2,

(c/2)^2 + a^2 = c^2.

Так как один из углов треугольника равен 60 градусов, то прямой угол равен 90 градусов и другой угол также равен 30 градусов. Из этого следует, что прямоугольный треугольник является равносторонним.

Таким образом, a = c/2 = 25.4 / sqrt(3).

Теперь мы можем подставить значение a в уравнение (c/2)^2 + a^2 = c^2 и решить его, чтобы найти значение гипотенузы c.