Окружность с центром О касается сторон АВ, ВС, АС треугольника АВС в точках M, N, K соответственно....

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойство касательной, которое гласит, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания.

Из этого свойства следует, что треугольники ОМК, ОНМ и ОКН являются прямоугольными. Так как угол АВС = 62 градуса и угол АСВ = 68 градусов, то угол АОВ = 180 - 62 - 68 = 50 градусов. Также, так как треугольник ОМК прямоугольный, то угол ОМК = 90 - 50 = 40 градусов.

Теперь мы можем найти дуги: Дуга MK = 2 угол ОМК = 2 40 = 80 градусов Дуга MN = 2 угол ОМН = 2 90 = 180 градусов Дуга NK = 2 угол ОНК = 2 50 = 100 градусов

Итак, дуга MK равна 80 градусов, дуга MN равна 180 градусов, дуга NK равна 100 градусов.

Рассмотрим окружность, вписанную в треугольник ABC, которая касается сторон AB, BC и AC в точках M, N и K соответственно. В этом случае точки касания являются точками, где перпендикуляры из центра окружности касаются сторон треугольника.

Обозначим углы при вершинах треугольника:

• Угол ∠CAB = α
• Угол ∠ABC = β = 62°
• Угол ∠ACB = γ = 68°

Так как сумма углов треугольника равна 180°, мы можем найти угол α: α = 180° - β - γ α = 180° - 62° - 68° α = 50°

Теперь давайте рассмотрим дуги окружности, которые нам нужно найти.

1. Дуга MK: Дуга MK противоположна углу ∠ACB (68°). В окружности, дуга, которая противоположна углу треугольника, равна 2 углам этого угла. Поэтому: Дуга MK = 2 ∠ACB Дуга MK = 2 68° Дуга MK = 136°

2. Дуга MN: Дуга MN противоположна углу ∠CAB (50°). По аналогии: Дуга MN = 2 ∠CAB Дуга MN = 2 50° Дуга MN = 100°

3. Дуга NK: Дуга NK противоположна углу ∠ABC (62°). Поэтому: Дуга NK = 2 ∠ABC Дуга NK = 2 62° Дуга NK = 124°

Теперь у нас есть все дуги:

• Дуга MK = 136°
• Дуга MN = 100°
• Дуга NK = 124°

Для проверки можно убедиться, что сумма всех этих дуг равна 360°, так как они покрывают всю окружность: 136° + 100° + 124° = 360°

Таким образом, дуги MK, MN и NK равны 136°, 100° и 124° соответственно.