Окружность с центром в точке A(2;-4) проходит через точку В(-3;1). Напишите уравнение этой окружности

Уравнение окружности с центром в точке A(2;-4) и проходящей через точку B(-3;1) будет: (x-2)^2 + (y+4)^2 = 50

Для того чтобы найти уравнение окружности, проходящей через точку В(-3;1) и с центром в точке A(2;-4), нам необходимо воспользоваться формулой для уравнения окружности в общем виде:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

где (h, k) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Известно, что центр окружности находится в точке A(2;-4), поэтому h = 2 и k = -4. Также дано, что окружность проходит через точку В(-3;1), что означает, что расстояние между центром окружности и точкой В равно радиусу окружности.

Теперь найдем радиус окружности: r = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-3 - 2)^2 + (1 + 4)^2) = √((-5)^2 + (5)^2) = √(25 + 25) = √50 = 5√2

Теперь подставим значения h, k и r в формулу уравнения окружности:

(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = (5√2)^2 (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 50

Таким образом, уравнение окружности с центром в точке A(2;-4) и проходящей через точку В(-3;1) будет: (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 50

Для того чтобы составить уравнение окружности, необходимо знать её центр и радиус. Уравнение окружности с центром в точке ( A(x_0, y_0) ) и радиусом ( R ) имеет вид: [ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2. ]

В данной задаче центр окружности находится в точке ( A(2, -4) ). Окружность проходит через точку ( B(-3, 1) ).

Первым шагом найдём радиус окружности. Радиусом является расстояние между центром окружности и любой точкой, лежащей на окружности. В данном случае, это расстояние между точками ( A ) и ( B ). Расстояние между двумя точками ( (x_1, y_1) ) и ( (x_2, y_2) ) в декартовой системе координат можно вычислить по формуле: [ R = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. ]

Подставим координаты точек ( A(2, -4) ) и ( B(-3, 1) ): [ R = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (1 - (-4))^2}. ] [ R = \sqrt{(-5)^2 + (5)^2}. ] [ R = \sqrt{25 + 25}. ] [ R = \sqrt{50}. ] [ R = 5\sqrt{2}. ]

Теперь, зная радиус ( R = 5\sqrt{2} ) и центр окружности ( A(2, -4) ), подставим эти значения в стандартное уравнение окружности: [ (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = (5\sqrt{2})^2. ]

Рассчитаем квадрат радиуса: [ (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50. ]

Таким образом, уравнение окружности будет: [ (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 50. ]

Это и есть окончательное уравнение окружности с центром в точке ( A(2, -4) ), проходящей через точку ( B(-3, 1) ).